第6章 ch3-1-2离散傅里叶级数.ppt

第03章 离散傅里叶变换及其快速算法 伍凯宁 wukn@ 8263 内容提要 离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。 讨论周期序列的傅里叶级数及其性质。 讨论有限长序列的离散傅里叶变换及其性质，其中包括循环卷积的重要概念。 利用循环卷积计算线性卷积。 讨论频率取样理论。 重点讨论FFT的时间抽选算法。 介绍变换点数为合数时的FFT算法。 介绍快速傅里叶变换算法的应用。 3.2 离散傅里叶变换及其性质 3.2.1 离散傅里叶变换(DFT) 有限长序列的傅里叶变换称为离散傅里叶变换，简写为DFT。 DFT可以按3个步骤由 DFS推导出来： ①将有限长序列延拓成周期序列； ②求周期序列的DFS； ③从DFS中取出一个周期便得到有限长序列的DFT。 DFT与DTFT的关系 有限长序列x(n)的DFT系数X(k)可看作其DTFT在一个周期(2p)内等间距取样的样本值，取样间隔为Dw=2p/N，即 DFT与DTFT的关系示意图 DTFT与ZT的关系 单位圆(z=ejω)上的Z变换，即傅里叶变换X(ejω)。 序列x(n)的DFT就是其ZT在单位圆上的等角距取样。 序列x(n)的DFT就是其DTFT在频率取样点的取值。 序列x(n)的DTFT就是其在单位圆上的ZT。 例 已知复序列 x(n)=xr(n)+jxi(n)，其中xr(n),xi(n)是实序列。序列x(n)的ZT－X(z)的单位圆的下半部(p≤w2p)为0。求x(n)的DFT－X(k)后一半的值，请说明理由。 解： 因为 例 已知序列 求其4点DFT，8点DFT，16点DFT？并画出 |X(k)|~k的曲线图。 解：x(n)的FT为： x(n)的4点DFT为： 1 x(n)的8点DFT为： 1 x(n)的16点DFT为： 1 4 8 12 16点： 8点： 4点： 对比： 离散时间信号的FT--DTFT： 时域离散，频域连续 离散的有限长信号的DFT： 时域离散，频域离散 离散傅里叶变换(DFT)总结 序列x(n)在时域是离散、有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。所以， x(n)和X(k)均可用计算机实现。 n为时域变量(nT)，k为频域变量(kDw)。 DFT与DFS没有本质区别，DFT实际上是DFS的主值，DFT也隐含有周期性。 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。 N/2点的DFT: N/4点的DFT: 旋转因子 的性质 对称性： 周期性： 换底： ,k/2,N/2为整数 几个特殊值： 例. 令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT，X(k)本身也是一个N点序列，如果计算X(k)的DFT得到一个序列x1(n)，试用x(n)求x1(n)。 解： ∴ ∴ 3.2.2 离散傅里叶变换的性质 DFT隐含着周期性，因此在讨论DFT的性质时，常与DFS的概念联系起来，并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理。 设x1(n)和x2(n)的长度都为N，且它们对应的DFT分别为X1(k)和X2(k)。 1．线性 设x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，a和b都为常数，则 若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长。 此性质可以直接由DFT的定义进行证明。 对于长为N的复序列x(n)， 证明： （1）因为X(k)隐含周期性，所以 （2）对于实序列， 2．对称性 这意味着 或 ①实序列的DFT系数X(k)的模是偶对称序列，辐角是奇对称序列 ②对于实序列的DFT，可以只计算一半： 3．序列的循环移位 一个长度为N的序列x(n)的循环移位定义为 循环移位分3步计算： (1)将x(n)延拓成周期为N的周期序列 ； ???? (2)将 移位得 或x((n+m))N； (3)对x((n+m))N取主值得x((n+m))N·RN(n)。 这个过程如下图所示。 华中科技大学电信系 * 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通过DFT在计算机 上实现。 引言 二.傅氏变换的几种可能形式 (1).连续时间、连续频率的傅氏变换--FT 对于非周期的连续时间信号 时域信号 频域信号