奇妙的裴波那契数列和黄金分割.docVIP

奇妙的裴波那契数列和黄金分割 “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多 斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 　　斐波那契数列指的是这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21 　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/ 5)*{[(1+ 5)/2]^n - [(1- 5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）【 5表示根号5】 　　很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 【该数列有很多奇妙的属性】　　比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887 　　还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。 　　如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。 　　如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6 等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。如果所有的数都要求是自然数，能找出被任意正整数整除的项的此类数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如4,6,10,16,26 （从2开始每个数的两倍）。 　　斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。 　　斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2 ）的其他性质： 　　1.f(0)+f(1)+f(2)+ +f(n)=f(n+2)-1 　　2.f(1)+f(3)+f(5)+ +f(2n-1)=f(2n)-1 　　3.f(0)+f(2)+f(4)+ +f(2n)=f(2n+1)-1 　　4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+ +[f(n)]^2=f(n) f(n+1) 　　5.f(0)-f(1)+f(2)- +(-1)^n f(n)=(-1)^n [f(n+1)-f(n)]+1 　　6.f(m+n)=f(m-1) f(n-1)+f(m) f(n) 　　7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1) f(n+1) 　　8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2 　　　　（1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。 　　（2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。 　　斐波那契数经常与花瓣的数目相结合： 　　3 百合和蝴蝶花 　　5 蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 　　8 翠雀花 　　13 金盏草 　　21 紫宛 　　34，55，84 雏菊 　　（3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。 　　（4）斐波那契数列与黄金比值 　　相继的斐波那契数的比的数列： 　　它们交错地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。 【与之相关的数学问题】　　1.排列组合. 　　有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 　　这就是一个