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第八章 解线性方程组的迭代法 8.1 迭代法的基本思想和常用迭代格式 8.2 迭代法的收敛性 8.3 收敛速率 8.4 共轭梯度法 直接法的缺点： • 用直接法求解，其求解过程中的舍入误差是积累 的； • 当线性方程组阶数较高时，用直接法求解需要有 很大的贮存量； • 对于稀疏矩阵，直接法利用稀疏性来减少工作量 的算法较复杂； 对于高阶或复系数方程组，迭代法更有优势。但 迭代法存在收敛性问题。 还可以用直接法得到的近似解作为迭代初值，再 用迭代法进一步提高精度。 计算方法第八章 2 §8.1 迭代法的基本思想和常用迭代格式 1、迭代法的基本思想 对于线性方程组 Ax b 迭代法的基本思想是将系数矩阵A 分解为两个矩阵之和 A = R + S 其中R 为一个非奇异且易于求逆的矩阵,通常取为对角矩阵、 三角矩阵或三对角矩阵。 Ax (R+S)x b Rx b Sx b (R A)x 计算方法第八章 3 -1 两边左乘 得 R -1 -1 x R b (I R A)x -1 -1 记B I R A, g R b ,则 x Bx g ， （0） 取向量x 作为方程组向量的初始值，递推公式为 x （k 1） Bx (k ) g ， k 0，1...， 产生一个向量序列x （）1 ，x （）2 ，x （）3 ， 矩阵B 称为迭代矩阵。 在这种迭代方法中，B 和 与k 无关，是不变的。称为定常迭代。 g 计算方法第八章 4 2、简单迭代法（Jacobi 迭代） 取R 为对角矩阵 R=diag(a11, a22,, ann ) 设aii  0，则 R -1 diag(a-1, a1,, a1) 11 22 nn 计算方法第八章 5 迭代矩阵B 的各元素为 b a / a , i  j ij ij ii b 0 ii g b / a ,i 1,2,, n i i ii 其迭代矩阵 -1 -1 B I R A,g R b 迭代公式 x （k 1） Bx (k ) g， k 01...，， 计算方法第八章 6 例8.1 用Jacobi迭代法解方程组 20x 2x 3x 24 