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实验二 用MATLAB计算傅立叶变换 （2课时） 实验目的 1、掌握用MATLAB计算DTFT及系统频率响应的方法。 2、掌握用MATLAB计算DFT和IDFT的方法。 3、掌握用DFT计算圆周卷积和线性卷积的方法。 实验设备 计算机一台，装有MATLAB软件。 实验原理和基本操作 1．用MATLAB计算DTFT 对于序列x（n），其离散时间傅立叶变换（DTFT）定义为： (1) 序列的傅立叶变换（DTFT）在频域是连续的，并且以=2π为周期。因此只需要知道的一个周期，即=[0，2π]，或[-π，π]。就可以分析序列的频谱。 用MATLAB计算DTFT，必须在-π≤≤π范围内，把用很密的、长度很长的向量来近似，该向量中各个值可用下式表示： w=k*dw=k* （2） 其中：d= 称为频率分辨率。它表示把数字频率的范围2π均分成K份后，每一份的大小，k是表示频率序数的整数向量，简称为频序向量，它的取值可以有几种方法：通常在DTFT中，频率取-π≤л的范围，当K为偶数时，取 k 如果K为奇数，则取 k 可以为奇偶两种情况综合出一个共同的确定频序向量k的公式； k= ： （3） 上式中表示向下取整。 在MATLAB中的向下取整函数为floor，floor（x）的作用是把x向下（向-方向）取整，所以与（3）式等价的MATLAB语句为 k （4） 给定了输入序列（包括序列x及其位置向量n），又设定了频率分辨率d及频序向量k，则DTFT的计算式（1）可以用一个向量与矩阵相乘的运算来实现。 （5） 如果频率向量表为=[,,……，]=k*d,而序列的位置向量为nx=[n1：nN]，则（5）式中的矩阵的指数部分可以写成-j*nT*，用MATLAB语句表达时，把代以w，转置符号nT换成MATLAB中的相应符号n，则求DTFT的程序可以写成： 例1 求有限序列x=[2，-1，1，1]的DTFT，其位置向量为nx=[0：3]。 假如取64个频点，画出它在-ππ范围内的幅频和相频特性。程序如下： x=[2,-1,1,1];nx=[0:3];K=64;dw=2*pi/K; k=floor((-K/2+0.5):(K/2-0.5)); % 设定频序向量 %w=linspace(-8,8,1000); X=x*exp(-j*dw*nx*k) % 用（1）式计算DTFT subplot(2,1,1); plot(k*dw,abs(X)), % 画幅频曲线 subplot(2,1,2) ;plot(k*dw,angle(X)), % 画相频曲线 2． 用MATLA B计算系统频率响应 MATLA B中用于求系统频率响应的函数是freqz,其功能是：由给定的系统函数H(Z)的分子和分母的系数向量绘制系统的幅度和相位响应。 调用格式： [H，w]=freqz(b,a,N)，或N缺省[H，w]=freqz(b,a),此时N取默认值512。 H是系统的频率特性，它是一个N元的复数向量。w是数字频率向量，它把0到π均分为N份，分辨率为π/N，w =[0：N-1]π/N。 b和a分别为分子分母多项式的负幂系数向量，即多项式的首项是常数项，以后按e 的升幂排列，由此形成的多项式的系数向量。 N为所选的频率点数，它决定了频率分辨率的密度。 这样求出的频率特性是在0≤π之间的特性，如果要让MATLAB计算全频率0≤2π范围的频率特性，要增加一个输入变元’whole’： [H，w]=freqz(b,a,N,’whole’),此时w的范围是0到2π（不含2π）。 若没有左端变量，即键入freqz(b,a,N)，MATLAB将不给出数据H和w而只绘出频率特性曲线。若在输入变元中给出频点向量w: freqz(b,a,w)，这种调用方法可以在自己选定的频点向量w上计算频率特性。 例2：设一个LTI系统的差分方程为y(n)-0.9y(n-1)=0.5x(n)+0.8x(n-1) 求其频率响应。 可直接写出H(e)= 用下面的程序可绘出幅频和相频特性曲线。 b=[0.5 0.8]; % 分子多项式系数向量 a=[1 -0.9]; % 分母多项式系数向量 [H,w]=freqz(b,a); % 求出频率响应（0到pi分成500点） subplot(2,1,1),plot(w,abs(H)),grid on xlabel(频率),ylabel(幅度dB) subplot(2,1,2),plot(w,angle(H)),grid on xlabel(频率),ylabel(相角(度)) 3． 用MATLAB计算DFT和IDFT 可以利用MATLAB提供的计算快速傅