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02_弹性力学基础及变分原理02剖析
弹性力学基础及变分原理 同济大学航力学院 许震宇 条件极值的变分问题 定理1： 约束： 泛函： 定理： 欧拉方程： 短程线问题 φ(x, y, z) = 0 定理2 约束： 泛函： 定理： 欧拉方程： 等周问题 x=x(s), y=y(s) x(s1)=x(s2), y(s1)=y(s2) 作业 求曲边梯形面积为常数的最短曲线 能量原理 就是根据变分原理，通过分区插值，把能量积分的极值问题化为一组线性代数方程来求解。最基本的能量定理是：虚功原理和与虚功原理。 小位移弹性理论的基本方程 平衡方程 应变 - 位移关系 应力应变关系 边界条件 ， ， 15个方程，15个未知数。 功和余功，应变能和余应变能 如果是线弹性的，则W=W*。三维类似。 虚功原理 也称虚位移原理 == 平衡条件 + 力的边界条件 基于虚功原理的近似解法 位移变分法：Rayleigh-Ritz 法，Galekin 法 最小位能原理 在所有容许位移函数中，真实的位移使总位能 取绝对最小值。 卡氏第一定理 单位－位移定理 余虚功原理 最小余能原理 满足平衡方程、力的边界条件的容许应力状态中，真实应力使总余能取驻值 卡氏第二定理 单位－载荷定理 广义变分原理 H-W 变分原理 H-R 变分原理 作业 均布载荷简支梁的弯曲
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