崔氏班排列组合精讲精练基础篇.docVIP

排列组合 加法原理：一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有种不同做法，……，第k类方法中有种不同的做法，则完成这件事共有 N= 种不同的方法。这就是加法原理。 乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法,……，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有 N= 种不同的方法。这就是乘法原理。 加法原理和乘法原理有什么区别？ 加法原理：先把方法分类，每一类的方法都能完成这件事。最后把这些方法相加。 乘法原理：先把方法分步，每一步都不能独立完成这件事，但是完成这件事，这些步骤缺一不可。最后把方法相乘。 运用两个基本原理时要注意： . 　　. 　　. 　　②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. . 排列组合 　在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 　　例如 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间．问：应准备有多少种不同船票？ 　　分析这个问题，可以用枚举法解决，三个城市之间，船票有下面六种设置方式： 　　如果不用枚举法，注意到要准备的船票的种类不仅与所选的两个城市有关，而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关，所以，要考虑共准备多少种不同的船票，就要在三个城市之间每次取出两个，按照起点、终点的顺序排列． 　　首先确定起点站，在三个城市中，任取一个为起点站，共有三种选法． 　　其次确定终点站，每次确定了一个起点站后，只能从剩下的两个城市之中选终点站，共有两种选法．由乘法原理，共需准备：3×2=6种不同的船票． 　　为叙述方便，我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个，按照一定的顺序排成一列的问题．我们把每一种排法叫做一个排列（如天津——青岛就是一个排列），把所有排列的个数叫做排列数．那么上面的问题就是求排列数的问题． 　　一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 　　由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列． 　　从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从 　　上面的问题要计算从3个城市中取出2个城市排成一列的排列数，就是 　　 　　一般地，从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）排成一列的问题，可以看成是从n个不同元素中取出m个，排在m个不同的位置上的问题，而 　　第一步：先排第一个位置上的元素，可以从n个元素中任选一个，有n种不同的选法； 　　第二步：排第二个位置上的元素．这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法； 　　第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法； 　　… 　　第m步：排第m个位置上的元素．由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素．这样，第m个位置上只能从剩下的[n-（m-1）]=（n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法． 　　由乘法原理知，共有： 　　n（n-1）（n-2）…（n-m+1） 　　种不同的排法，即： 　　　　 m≤n；且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘． 例1：小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观。从北京到天津可以做火车或者做公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种。问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？ 解：首先看他们完成整个过程需要几个过程，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据。很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理。 我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，从北京到天津走法有：4+3=7种，同样的道理，天津到上海走法有：3+5+4+2=14种