应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则并列举克拉默法则的应用.docVIP

 目录 摘要及关键词.........................................3 克拉默法则介绍.......................................3 克拉默法则的局限与推广...............................4 应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则 （1）矩阵秩与线性方程组解的关系关系..................5 (2)应用关系推导克拉默法则...........................6 五、克拉默法则的应用.....................................8 六、结束语...............................................11 七、 参考文献............................................12 一、摘 要： 线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。本文描述了克拉默法则产生的背景与局限，归纳了克拉默法则及其推广及其证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。 关键词：克拉默法则；线性方程组；矩阵秩；克拉默法则的应用 二、克拉默法则介绍 克拉默法则（Cramers Rule），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。线性代数是代数学的一个重要的组成部分，广泛地应用与现代科学的许多分支。其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。对此通常有两种方法，即消元法和克拉默法则。在中古代，《九章算术》的成书年代就已经将消元法运用自如了，它与现代的矩阵初等变换法则非常相似，而在西方，类似的方法到1826年才被高斯（1777-1855）发现并创建，因而称之为高斯消元法。至于克拉默法则，它是瑞士数学家克拉默（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的，它是按行列式形式来求解线性方程组的，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，其简洁、优美的表述方式堪称数学学科符号化的一个典范。 元线性方程组克拉默法则：设元线性方程组为 若系数行列式，则方程组有唯一解，即 其中，,是把系数行列式的第列元素换为方程组等号右边的常数列所得的阶行列式，系数行列式为 定理中包含着三个结论:（1)方程组有解;（2)解是唯一的;（3)解可以由公式计算出 克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题，如果线性方程组中未知量的个数与方程的个数相等且系数矩阵的行列式不为零时,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,若系数矩阵的行列式等于零或者方程的未知量的个数与方程的个数不相等,则不能直接运用克拉默法则。 三、克拉默法则的局限与推广 局限性: (1)克拉默法则只能用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组； (2)克拉默法则只能求得系数行列式不为零时的线性方程组的唯一解；即如果方程个数与未知数个数不相等，或系数行列式等于零，则Crammer法则失效。 计算量大，要计算 n+1 个 n 阶行列式的值。 改进： 1、当系数矩阵A行列式不为零时，逆矩阵存在,此时X=A-1.b，其中是矩阵A的逆矩阵。 2、利用矩阵的加法以及数乘运算的法则可知，普通行列式的性质及展开定理，对于广义行列式也同样成立。 广义克拉默法则：未知的矩阵 若系数行列式，则方程组有唯一解，即 其中，,是把系数行列式的第列元素换为方程组等号右边的常数列所得的阶行列式，系数行列式为 四、应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则 （1）矩阵秩与线性方程组解的关系 设n 元线性方程组AX=b，其中A 和[A|b]分别为m×n 阶系数矩阵与m×（n+1）阶增广矩阵, 矩阵称为线性方程组的系数矩阵 矩阵称为线性方程组的增广矩阵。则有： （1）方程组AX=b 无解当且仅当r（A）＜r[A|b] （2）方程组AX=b 有唯一解当且仅当r（A）=r（A|b）=n （3）方程组AX=b 有无穷多解当且仅当r（A）=r（A|b）＜n 对于齐次线性方程组。显然有r（A）=r（A|b），所以齐次线性方程组一定解 （2）应用关系推导克拉默法则 若方程组有且只有一个解，则根据矩阵秩与线性方程组的关系，得： r（A）=r（A|b）=n，所以可以通过消元变换(将一方程的倍加到另一个上)变为同解方程组 . 证明 首先, 通过消元法我们证明方程组（a）可化为下列形式