待定系数法在高考递推数列中的应用.docVIP

待定系数法在高考递推数列题中的应用 模型1：an＋1=pan＋q（其中p、q均为常数，（pq（p－1）≠0）） [解法]（待定系数法）：把原递推公式转化为：an＋1－λ=p(an－λ)其中λ=，再用换元法令bn=an－λ，则有bn＋1=pbn，从而数列{bn}为等比数列，于是由an=bn＋λ可求出数列an的通项公式。 例1：已知数列{an}中，a1=1，an＋1=2an＋1。求an。 解：令an＋1＋λ=2(an＋λ)即an＋1=2an＋λ ∴λ=1 从而an＋1＋an＋ an＋=2 故数列{bn}是以b1=2为首项，以2为公比的等数列。 则bn=2×2n－1=2n ∴an=2n－1 练习1、（06重庆文）在数列{an}中n＋1＋n＋1 pan＋＋，再令bn= 从而化为bn＋1=，此即为模型1，可用模型1待定系数法解之。 例2：已知数列{an}中，a1=，an＋1=an＋()n＋1，求an。 解：在an＋1=an＋()n＋1两边乘以2 n＋1，得 2 n＋1·an＋1=(2n·an)＋1 令bn=2n·an，则bn＋1=bn＋1 又令bn＋1＋λ=(bn＋λ)即bn＋1=bn－ ∴λ=－3 故bn＋1－3=(bn－3) ∴数列{bn－3}是以b1－3=21·－3=－为首项，以为公比的等比数列。 从而bn－3=－·()n—1 即bn=3－2·()n ∴an==3·()n－2()n 练习3、已知数列{an}满足a n＋1=3a n＋2·3n＋1且a1=3。求{an}的通项公式。 练习4、已知数列{an}满足a0=1，an=3 n－1－2an－1（n∈N*），求an。 模型3：a n＋1=pan＋an＋b（p≠1，0，a≠0） [解法]用待定系数法构造等比数列，令a n＋1＋x(n＋1)＋y=p(an＋xn＋y)与已知递推式比较，解出x、y，从而转化为{an＋xn＋y }是公比为p的等比数列。 例3：设数列{an}满足，a1=4，an=3a n－1＋2 n－1（n≥2），求an。 解：设bn=an＋An＋B，则an=bn－An－B，将an，an－1代入递推式， 得bn－An－B=3[bn－1－A(n－1)－B]＋2n－1 =3bn－1－(3A－2)n－(3B－3A＋1) ∴ ∴ bn=an＋n＋1……(1) 则bn=3bn－1，又b1=6 ∴bn=6×3n－1=2×3n 代入（1）得：an=2×3n－n－1 练习5、已知数列{an}满足a1=，2an＋1=an＋n，求an。 模型4：a n＋1=p·（p＞0，an＞0） [解法]这种类型一般是等式两边取对数后转化为an＋1=p·an＋q，再利用待定系数法求解。 例4：已知数列{an}中，a1=1，an＋1=·an2(a＞0)，求数列{an}的通项公式。 解：由an＋1=·an2两边取对数得lgan＋1=2lgan＋lg 令bn=lgan，则bn＋1=2bn＋lg 再利用待定系数法解得：an=a·()2n－1 练习6、（05年江西理）已知数列{an}的各项都是正数，且满足a0=1， an＋1=an(4－an)，n∈N，求数列{an}的通项公式an。 1