振动基础--修改.ppt

例1-1 承受集中载荷的简支梁如图1-2（a）所示。梁的跨度l=350cm，截面尺寸如图1-2（b）所示（单位为mm）。梁的材料为铝，弹性模量E=7× 104MPa，密度ρ=2700kg/m3。设有一重物G1=2400N从h=2.5cm的高处落下，落于梁跨度的中点。求梁的固有频率和最大动挠度。 解： 由图1-2（b）可计算出梁的截面面积，从而可计算出梁自身的重力为G0=251N。 与重物G1相比，梁的质量可以忽略不计。重物可视为一个集中的质量块，而梁则可视为一个没有质量的弹簧。 重物落在梁上以后可将此系统视为一个单自由度的振动系统。用来计算重物位移的坐标原点取在其静力平衡位置。那么，梁在重物作用下的静挠度即为这一自由振动的初始位移，而重物下落所获得的速度即为自由振动的初始速度。 根据材料力学可知，简支梁在重物作用下的中点静挠度为 式中：I为梁的截面惯性矩，I=406cm4。 由此得出δst=0.755cm。 梁的刚度为 固有频率为 重物与梁接触瞬间的速度为 系统自由振动的振幅为 梁的最大挠度为 可以看出动挠度比静挠度大得多，动挠度与静挠度之比称为放大系数，用 β 表示，此处有 例1-2 如图1-3所示，起重机以速度v0使重物G下降时，突 然紧急刹车，求此时提升机构所受的最大拉力。已知： v0=0.6m/s，G=2000N，钢丝绳的截面积A=2.51cm2，长度l=16m，弹性模量E=1.78× 105MPa。 解： 紧急刹车时，钢丝绳突然停止，但此时重物具有速度v0，从制动的瞬间开始吊在绳上作自由振动。显然，初始位移x0=0，初始速度为v0。 由式（1-5）可知，最大位移xmax=v0/wn，由此，钢丝绳最大的拉伸量为 式中：k为钢丝绳刚度。 由材料力学可知 钢丝绳中最大的拉力为 定义动拉力与静拉力之比为动力放大系数β，则β=Fmax/G=64268/20000=3.2134。 由此可以看出，当紧急制动时，起重机钢丝绳中的动拉力是正常提升时的3.2134倍。 二、有阻尼自由振动 在图1-1（a）所示的保守系统中，由于系统的能量守恒，如果振动一旦发生，它就会持久地、等幅地一直进行下去。 但是，实际上所有的自由振动都是逐渐衰减而至最终停止的，即系统存在阻尼。 阻尼的存在形式包括相对运动表面的干摩擦阻尼、液体与气体的黏性阻尼、电磁阻尼和结构阻尼等。 图1-4所示为考虑了阻尼的单自由度振动系统模型。 其运动微分方程为 令c/m=2n，k/m=ωn2，则 (1-6) （1-7） 其通解为 （1-8） 式中：c1、c2为积分常数，由振动初始条件决定。 令n/ωn=ξ，ξ 称为相对阻尼系数或阻尼率，则式（1-8）可写为 （1-9） 由此可以讨论阻尼对系统的自由振动产生的影响。 当ξ 1时，称为弱阻尼状态。此时，ξ2-1为虚数，式（1-9）变为 （1-10） 利用欧拉公式，式（1-10）可写为 （1-11） 式（1-11）的括号内为两个简谐振动相加，则可写为 （1-12） 式中 由式（1-12）可以看出，弱阻尼自由振动具有如下几种特性： 它是一个简谐振动，振动的频率为 而ωn为无阻尼时系统的固有频率。一般情况下，ξ 常在0.1左右，因此对固有频率的影响不大，即认为 其中A、ξ、ωn皆为定值。 振动的振幅为 所以振幅随时间变化的规律是一条指数递减曲线，如图1-5所示。 当ξ1时，称为强阻尼状态。此时，式（1-9）可写成 （1-13） 由于ξ2-10，故式（1-13）中的两项指数皆为实数，又因为 ，故二项指数皆为负值。所以，式（1-13）所表示的是一条指数递减的曲线。这表示系统将不再产生前面所述的振动，而是一条按指数规律衰减的曲线。 这里cc为临界阻尼状态下的阻尼系数，称为临界阻尼系数。显然它是系统本身所具有的特性之一。 当ξ=1时，称为临界阻尼状态。由于ξ=n/ωn=1，n=ωn，则有 （1-14） 由ξ=n/ωn=c/2mξωn及cc=2mωn，有ξ=c/cc。相对阻尼系数ξ（阻尼率）反映了系统的实际阻尼和临界阻尼的关系。 在临界阻尼状态下，有 （1-15） 显然，在这种状态下不能形成振动。 根据式（1-12）、式（1-13）、式（1-15），可利用MATLAB求出阻尼系数为0.03和临界阻尼时的响应曲线，如图1-6和1-7所示。 三、有阻尼受迫振动 单自由度有阻尼受迫振动的微分方程为 （1-16） 式中：f(t)为外加的激励力。 如果f(t)=F0sinωt，则称为简谐激振力，其振动称为谐迫振动。此时，式（1-16）可写成 （1-17） 式（1-17）是一个线性非齐次方程。其响应为 谐迫振动的主要特性如下： （1）谐迫振动包