第五章 频率分析法(二).ppt

重庆邮电大学自动化学院 §5.4 频域稳定性判据 又称Nyquist稳定性判据，简称奈氏 判据。利用系统开环频率特性获 得闭环系统稳定性的判别方法。 一 开环极点与闭环极点的关系 开环传递函数 方程 M(s)=0 的根，开环零点。 方程 N(s)=0 的根，开环极点。 闭环传递函数 方程 M(s)=0 的根，闭环零点。 方程 N(s)+ M(s) =0 的根，闭环极点。 作辅助函数F(s) 方程 N(s)+ M(s) =0 的根—— F(s)的零点。 方程 N (s)=0 的根 —— F(s)的极点。 辅助函数F(s)作将系统的开环极点与闭环极点统一在一 个复变函数F(s)中。由于n≥m，开环极点、闭环极点 个数相等 = n个。 辅助函数F(s)的频率特性 二、频域稳定性判据 已知系统的开环频率特性Go(j?)，则闭环系统稳定的充 分必要条件为： 当?由0增至无穷时，辅助函数F(j? )的角度增量为 或 其中，p为s的右半平面上开环极点的个数。 一般情况下 p=0，判别式成为 或 稳定系统与不稳定系统的轨线与角度增量 （1）系统不稳定 （2）系统稳定 稳定系统的角度增量为0，或者说，轨线不包围原点。 进而， F(j? )平面就是1+G(j? )平面。两平面的关系为 平移关系。包围F(j? )平面的原点等于包围G(j? )平 面 的-1+j0点 G(j? )曲线即在G(j? )平面上的极坐标图，因此可修改 判据为 P=0时，围绕 –1 点角度增量 P≠0时，围绕 –1 点角度增量 证明： 辅助多项式 写为零极点表达式 幅角增量 F(j? )的每个零点，如果位于s平面的左半平面，当 ? : 0 ?∞时，则可以获得增量角为 F(j? )的每个零点，如果位于s平面的右半平面，当 ? : 0 ?∞时，则可以获得增量角为 如 ，角度增量 如 ，角度增量 对于F(j? )的极点，正好与零点相反。 所以对于 如果 n个零点 与 n个极点 或者 n个闭环极点与 n个开环极点 全部位于s的左半平面，则有 即角度增量为零，因此有轨线不包围F(j? )平面的原 点，等价于开环频率特性的极坐标轨线Go(j? )不包围 G(j? )平面的1+j0点。 如果有p个开环极点位于s平面的右半平面上 , 系统稳定的充分必要条件为角度增量为p?。 证毕。 三、频域稳定性分析 1、最小相位系统 系统稳定的充要条件为 Go(j? )曲线不包围G(j? )平面的1+j0点。 例5－7 系统的开环传递函数 讨论开环增益K的大小对系统稳定性的影响。 解：作极坐标草图 且?增加时，有 作极坐标草图如图 。 稳定性判别： 当K小时，极坐标轨线围绕-1点的角度增量为 不包围-1点，所以系统是稳定的。 当K大时，围绕 -1点的角度增量为 由于围绕-1点转了-2?圈，不等于零，所以系统不稳定。 2、原点处有开环极点情况 原点有开环极点，?个： ? ? 0 时，复变函数F(j?)在原点处不解析，幅角增量 值不定。 处理方法如图。作无穷小半圆饶过原点，即 将原点处的开环极点视为s左半平面的极点来处理。 由映射关系，s平面原点处的幅角增量，必有G(j?) 平 面无穷远处的幅角增量，以增补线来体现如图。 如果原点处的开环极点有?个，则在平面上的无穷大半 圆处所作的增补线应满足的增补角为 这样，原点处有开环极点时，需要计入相应的增补角， 幅角增量的计算才是正确的。 例5－8 已知系统的开环传递函数为 试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。 解 （1）作极坐标图 A(?) 与 ?(?) 均为单调减，作图。 （2）稳定性判别 最小相位系统，稳定条件为 ?=1，在无穷远点邻域作增补线 如图。 K小时，角度增量为 (原角度) (增补角) 满足条件，系统稳定。 K大时，角度增量为 (原角度) (增补角) 不满足条件，系统不稳定。 3、非最小相位系统 由s的右半平面开环极点确定，p≠0 稳定条件为 由s的右半平面开环零点确定， p=0 稳定条件仍为 例5－9 已知系统的开环传递函数为 由奈式判据判别闭环系统的稳定性。 解（1）作极坐标图。 A(?)单调减，?(?) 单调减，穿越点 作图。 （2）稳定性判别 ?=1，在无穷远点邻域作增补线如图 K小时，角度增量为 (原角度) (增补角) 不满足条件，系统不稳定。 K大时，角度增量为 (原角度) (增补角) 满足条