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第六章数字滤波器设计要点
数字滤波器设计
滤波的目的在于:
提取有用信号,抑制不必要的干扰或消除信号的传输误差;
把信号分解成不同的频率分量,以便进行分析;
进行信号检测及估计;
6.1 滤波器概述
滤波器的概念
所谓滤波器,就是以特定方式改变信号的频率特性,从而实现信号变换的系统。
若x(n)、y(n) 和h(n)的傅里叶变换分别为X(ejω)、Y(ejω)和H(ejω),则由时域卷积定理,可知
则系统输入x(n)的滤波输出
可见,输入序列的频谱X(ejω)经数字滤波器系统H(ejω)后,就变换为滤波器的输出谱Y(ejω),因此,若选取不同的滤波器H(ejω),使滤波器的输出Y(ejω)满足不同的设计要求,这就是数字滤波器的工作原理。
滤波器的分类
从功能上分类
低通滤波器(Low Pass,简称LP):低频信号通过;
高通滤波器(High Pass,简称HP):高频信号通过;
带通滤波器(Band Pass,简称BP):中频频带信号通过;
带阻滤波器(Band Stop,简称BS):阻碍中频频带信号的通过;
从形式上分类
模拟滤波器(Analog Filter,简称AF)
缺点:
可靠性不高;
抗干扰能力差;
设计难度较大,不灵活;
模拟滤波器从设计方法上又可分为巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等。
数字滤波器(Digital Filter,简称DF)
优点
可靠性较高;
抗干扰性强;
使用灵活、方便;
不需考虑元件之间的阻抗匹配;
缺点
结构复杂、价格高;
实时性受CPU、A/D的限制;
数字滤波器从实现方法上又可分为无限冲激响应(Infinite Impulse Response,简称IIR)数字滤波器、有限冲激响应(Finite Impulse Response,简称FIR)数字滤波器等。
滤波器的技术要求
造成滤波器不可实现的根本原因是通带到阻带之间存在突变,因此,为了保证所设计的滤波器具有物理可实现性,我们应在通带和阻带之间设置一个过渡带,并且对通带和阻带给以较小的容限,使滤波器的频率响应在此过渡带内平滑地从通带下降到阻带。
若数字滤波器的幅频特性为|H(ejω)|,其通带及阻带的截止频率分别为ωp、ωs,则其通带及阻带的衰减αp、αs分别定义为
6.2 典型模拟滤波器(AF)的设计
有关概念
AF的衰减特性
模拟滤波器的衰减特性取决于滤波器幅度的平方(又称模方函数)|H(jΩ)|2,则定义衰减函数
显然,滤波器的通带及阻带的衰减指标αp、αs与衰减函数、模方函数间的关系如下
由此可见,在设计模拟滤波器时,我们可以根据滤波器的衰减特性来确定其模方函数。
由模方函数求AF的传递函数
由于模拟滤波器的模方函数
其中
所以
可见,滤波器的模方函数与其传递函数之间存在密切关系,因此,我们可以由模方函数求解出相应的传递函数。
巴特沃斯(B型)低通滤波器
分析
模方函数
巴特沃斯滤波器是以巴特沃斯近似函数作为滤波器的传输函数,该函数以最高阶泰勒级数的形式来逼近理想矩形特性,即
(6.2.1)
式中,ε为与通带衰减有关的系数,Ωc为截止频率,N为巴特沃斯滤波器的阶数。
通常取半功率点为截止频率,即|H(jΩc)|2=1/2,则相应的衰减
将|H(jΩc)|2=1/2代入(6.2.1)式中,得
则巴特沃斯滤波器的模方函数
(6.2.2)
可见,巴特沃斯滤波器的特性与阶次N有关,如图所示(参见P153图6.2.2),随着阶次N的增加,滤波器的通带越平坦,越接近理想的矩形特性。
基本性质
对于不同的阶次N,巴特沃斯滤波器的模方特性总满足
由(6.2.2)式可知,巴特沃斯滤波器的幅频特性是随着Ω的增大而单调下降的。当Ω→0时,|H(jΩ)|→1;Ω→∞时,|H(jΩ)|→0,也就是说,在0的附近以及Ω很大时其幅频特性曲线均趋于平坦,因此,巴特沃斯滤波器具有最平坦特性;
当频率Ω远离Ωc时,频率每增加一倍,衰减增加6N dB,即衰减达到6N dB/倍频程
验证:当ΩΩc时,则巴特沃斯滤波器的模方函数就近似为
则其衰减函数
当Ω=Ωc时,α(Ω)=0
当Ω=2Ωc时,α(Ω)=20N lg2≈6N dB
设计过程
按给定指标确定巴特沃斯滤波器的阶数N和截止频率Ωc
假设给定指标:Ω=Ωp时,滤波器通带的最大衰减为αp
Ω=Ωs时,滤波器通带的最小衰减为αs
由衰减函数的定义
和巴特沃斯滤波器模方函数的定义
可得
将给定的指标参数分别代入上式,得
由于,求两等式的比值并取对数,可得滤波器的阶数
[注意:N为正整数]
且截止频率
由巴特沃斯滤波器的模方函数|H(jΩ)|2求解其传递函数H(s)
我们在前面已经介绍过如何由模方函数求滤波器的传递函数,其具体过
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