可能的最后一题(答案).pdf

（2000•上海）如图，在半径为在半径为6，圆心角为90° 的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点有一个动点O，OH⊥OA， 垂足为H，△OOH 的重心为的重心为G ． （1）当点O 在AB 上运动时上运动时，线段GO、GO、GH 中，有无长度保持不变的线段有无长度保持不变的线段？如果有， 请指出这样的线段，并求出相应的长度并求出相应的长度； （2 ）设OH=x，GO=y，求y 关于关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3 ）如果△OGH 是等腰三角形是等腰三角形，试求出线段OH 的长． 考点：直角三角形的性质；；三角形的重心；等腰三角形的性质。 分析：（1）由题意可知：重心是三角形中线交点重心是三角形中线交点，它把中线分为1：2 的比例的比例，如果中线长 度不变，题中的三线段长度也不变题中的三线段长度也不变．在直角三角形OHO 中OO 是直角三角形是直角三角形OOH 的斜边， 也是半径是保持不变的所以线段也是半径是保持不变的所以线段GH 保持不变；则根据直角三角形中斜边的中线是斜边的一则根据直角三角形中斜边的中线是斜边的一 半可以求得OO 中线的长度，，进而求得GH 的长度； 2 （2 ）延长OG 交OA 于C，则则y= ×OC ；分别再直角三角形OOh 和直角三角形和直角三角形OHC 中运用两 3 次勾股定理即可以求出y 关于关于x 的函数解析式； （3 ）分别讨论GH=OG，GH=OHGH=OH，OH=OG 这三种情况，根据 （2 ）中的解析式可以分别求得中的解析式可以分别求得x 的值． 解答：解：（1）当然是GH 不变不变． 重心是三角形中线交点，它把中线分为它把中线分为1：2 的比例， 如果中线长度不变，题中的三线段长度也不变题中的三线段长度也不变． OO 是半径，它是直角三角形它是直角三角形OOH 的斜边，它的中线等于它的一半； 2 1 2 11 则GH= （OO ）= （×6 ）=2 ； 3 2 3 22 2 （2 ）延长OG 交OA 于C，则则y= ×OC ． 3 我们令OC=a=CH， 在直角三角形OHC 中，OC=√√ =√ ， 2 则y= ×√ ； 3 2 2 2 2 在直角三角形OHO 中，有OOOO =x + （2a ）=6 =36， 2 2 则a =9 ﹣ ， 4 2 2 3 将其代入y= ×√ 得y=y= × 9； 3 3 4 （3 ）如果OG=GH，则y=GH=2y=GH=2 ， 解方程：x=0 ， 那GO 不等于GH，则不合意义则不合意义； 如果，OH=GH=2 则可以解得则可以解得：x=2 ； 如果，OH=OG，则x=y 代入可以求得代入可以求得：x=√6． 点评：本题考查了重心的概念以及直角三角形与等腰三角形的性质本题考查了重心的概念以及直角三角形与等腰三角形的性质．综合性比较强综合性比较强，有一定 的难度． （2002•上海）操作：将一把三角尺放在边长为将一把三角尺放在边长为 1 的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点并使它的直角顶点 O 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC 相交于点相交于点Q． 探究：设A 、O 两点间的距离为两点间的距离为x ． （1）点Q 在CD 上时，线段线段OQ 与线段OB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结试证明你观察得到的结 论（如图1）．