性代数同解与公共解问题分析1.pdf

◇张宇考研数学辅导系列◇ ◇张宇 编讲◇ 方程组同解理论及其应用（注意课上怎样讲，怎样用） A ⎛ ⎞ （1）n 元齐次线性方程组（I ）AX 0 和（II ）BX 0 同解⇔r r A r B . ⎜ ⎟ ( ) ( ) B ⎝ ⎠ 【分析与证明】 1）先弄清楚什么叫两个方程组同解？同解就是说，我的解都是你的解，你的解也都是我的 解，我们俩同解。好，下面开始证明。 A A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 若（II ）的解都是（I ）的解，则 X 0 与BX 0 同解 ⇒r r B ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) B B ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 若（I ）的解都是（II ）的解，则 X 0 与AX 0 同解 ⇒r r A ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) B B ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A ⎛ ⎞ 故，（I ）AX 0 和（II ）BX 0 同解⇒r r A r B . ⎜ ⎟ ( ) ( ) B ⎝ ⎠ 2 ） ⎧ A A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ , r r B =⇒n −r n =−r B 即两方程组基础解系中所含向量的个数相同 ⎪ ⎜ ⎟ ( ) ⎜ ⎟ ( ) B B ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ A A ⎪⎛ ⎞