如何用空间向量求解二面角.pdf

第 3 期 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　高中数学教与学 如何用空间向量求解二面角 刘记乾 (河南省长垣一中, 453400) 　　求解二面角大小的方法很多, 单就教师 算两非零向量之间的夹角时两非零向量必须 在课堂上所授方法而言就有定义法 、三垂线 放于同一起点. ( ) 法 、垂面法 、射影法 、向量法等若干种. 而这些 二 、二面角的内 外 “侧 ”的概念 方法中最简单易学的就是向量法, 但在实际 教学测试中笔者发现学生利用向量法求解二 π 面角时容易与实际相差一个 “ ”角度, 究其 原因应是对 向量法的源头不尽了解所致. 本 文试图从向量法求解二面角的源头入手, 给 ( ) 出二面角的内 外 “侧 ”的概念, 结合示例具 α β 体讲解, 以期学生在应用中有所突破. 对如图 3所示的二面角 - l - , 我们称 α β 一 、两非零向量之间的夹角 - l - 所 “包 ”的部分为该二面角的 “内 ( ) ( ) ( αβ ) 人教 A 版 第一册 下 第 118 页: 已知 侧 ”也称半平面 , 的内侧 , 其外部称为 ( ) ( αβ ) 两个非零向量 a 和 b 如图 1 , 作OA = a, OB “外侧 ”也称半平面 , 的外侧 . θ( θ π) 三 、二面角与法向量夹角的关系 = b. 则 ∠A OB = 0 ≤ ≤ 叫做向量 a和 α b 的夹角. 平面的法向量 :如果 n ⊥ , 那么称 n 为平 α 面 的一个法向量. α β 在图 4 中, n 1 ⊥ , n2 ⊥ , 在图 5 中, n 1 ⊥ α β α , n2 ⊥ . 图 4 中我们称 n 1 指向平面 的 “内 β 侧 ”, n2 指向平面 的 “外侧 ”; 图 5 中 n 1 指向 α