2范数理论及其应用之一.pdf

矩阵分析与应用 第七讲范数理论及其应用之一 本讲主要内容 向量范数及l 范数 p 定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V 的任 x 一向量x ，对应一个实数值 ，满足以下三个条件 1) 非负性： x ≥0, 且 x 0 ⇔x 0 2) 齐次性： kx k i x , ∀k ∈K 3) 三角不等式：x +y ≤ x + y x 则称 为V上向量x 的范数，简称为向量范数。 k 注意：2) 中 当K 为实数时为绝对值， 当K 为复数域时为复数的模。 向量的范数具有下列简单性质： (1) 当 x ≠0 时，1 x 1 ∵ 1 x 1 x 1 x x x (2) ∀x ∈V ，−x x ∵ −x =−1 x x (3) ∀x , y ∈V ，x − y ≤ x −y ∵x (x =−y )+y ≤ x −y + y ⇒ x − y ≤ x −y (4) ∀x , y ∈V ， x − y ≤ x −y x (x −y )+y ≤ x −y + y ⇒ x − y ≤ x −y 同样 y − x ≤ y −x x =−y T Cn x x , x , , x ∈C n 例1：线性空间 ，设 ( 1 2 n ) 1： x 1 ∑ξi 是一种向量范数，记为1-范数 2 ：x x , x 是一种向量范数，记2-范数 ( ) x max x ∞ 3: i i 是一种向量范数,记为 -范数 1 n  p p 4 ： x x 1 p p ∑ i  ( =≤ ∞) i 1  l 是一种向量范数，记为p -范数或 范数 p n  p p 证明：向量p -范数 x x 1 p p