波动方程求解法2.pdf

现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题: ⎧u a2=Δu −∞x , y ,z +∞,t 0 ⎪ tt (3.1) ⎨u |t 0 ϕ(M ) ⎪ −∞x , y , z +∞ u | ψ(M ) ⎩ t t 0 其中M 代表空间中任意一点, M M (x , y , z ). 这个定解问题采用求平均法来求解. 先回忆一维的达朗贝尔公式的变形 1 1 x +at u x t ϕ x =−at +ϕ x +at + ψξ dξ ( , ) ( ( ) ( )) ∫x −at ( ) 2 2a ⎛ x +at ⎞ x +at ∂ t t ϕ ξ ξ ψξ ξ ∂t ⎜⎝2at ∫x −at ( )d ⎟⎠=+2at ∫x −at ( )d . 1 x +at ωξ dξ 称为函数 ω(ξ) 在区间[x-at, x+at] 2at ∫x −at ( ) 上的平均值，这个平均值与x, 半径at和函数 ω(ξ) 有关， 3 记作 1 x +at ( , ) ( ) . vω x t 2at ∫x −at ωξ dξ 于是达朗贝尔公式的变为 ∂ u(x,t) (tv (x, t))=+tv (x, t). ∂t ϕ ψ 上述方法称为球平均法. 4 2 3 设函数 ω(x , x , x ) ∈C (R ), 现在考虑该函数在球面 1 2 3 C : (ξ −x )2 +(ξ −x )2 +(ξ −x )2 r2 r 1 1 2 2 3 3 上的平均值. (ξ ,ξ ,ξ ) ∈C , 对于 1 2 3 r 采用球坐标： ξ x +αr ,i 1, 2,3, i i i α θ ϕα θ ϕα θ 1 sin cos , 2 sin sin , 3 cos , θ π ϕ π 0 ≤ ≤ ,0 ≤ ≤2 . 5 ω(x , x , x ) 在