函数中的不动点问题.pdf

维普资讯 高中文学教与学 2OO5 耸 。解题思路与方法。 函数 中的不动点问题 张德文 (湖南省浏阳市一中，410300) 函数是贯穿在中学数学中的一条主线， a2x +act—a+1=0 0 是学好高等数学的基础，每年的高考对函数 要么没有实根，要么实根是方程 问题的考查所占的比例都相当大，可以说是 姬 一 一1=0 ② 常考常新．其中涉及函数的“不动点”问题，是 的根． 高考命题的新动向．下面笔者从全国部分省 若①没有实根，则A2=a一4a(1一a) 市高考模拟试题和近年的高考试题中精选出 0，由此解得n A； 四道典型例题并予以解析，旨在探索解题规 若①有实根，则① 的实根是② 的实根， 律，总结解题方法． 则由②有a2x =盯+a，代人①，有 例 1 对于函数f(x)，若f(x)= ，则 2ax+1=0． 称 为f(x)的“不动点”，若f(f(x))= ，则 由此解得 =一1再代人②得 +1 称 为f(x)的“稳定点”；函数f(x)的“不动 ， 点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A — 1=0，由此解得n=}． = {If(x)= }，B={If(f(x))： }． (1)求证：A B； 故n的取值范围是[一{，寻]． (2)若f(x)=act一1(aER， ∈R)， 侈42 对于函数f(x)=act+(b+1) 且A=B≠ ，求实数a的取值范围． +b一2(a≠0)，若存在实数 0，使f(x0)= 证明(1) 若A= ，则A B，显然成 z0成立，则称 0为f(x)的不动点． 立 ： (1)当a=2，b：一2时，求f(x)的不动 若A ≠ ，设 tEA，则 f(t)=t， 点； f(f(t))=f(t)=t，即tEB，从而A B． (2)若对于任何实数b，函数f()恒有两 (2)A中元素是方程f()= ，即甜 一1 相异的不动点，求实数n的取值范围； = 的实根． (3)在(2)的条件下，若Y=f(x)的图象 由A≠ ，知a=0或 上A、B两点的横坐标是函数f()的不动点， f△ 1+4a≥0， ≥ 4 且直线 如 + 是线段 的垂直平 = + ≥ ，’ B中元素是方程a(act一1)一1= ，即 分线，求实数b的取值范围． 3x a 一 2a 一 +a一1=0的实根． 解 (1)当a=2，b=一2时，f(x)= 由A B知，上述方程左边含有一个因 2x 一 一4，由2x 一 一4= ，解得 1=一 式act一 一1，即方程可化为(act一 一 1，2=2，即f(x)的不动点是一1，2． 1)(a +act—a+1)=0． (2)由f(x)= ，得纰 +缸+b一2= 因此，要A=B，则方程