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上海中学数学 ·2009年第 3期 23 利用待定指数法证明不等式 528237 广东省工业贸易职业技术学校 张 宏 第 42届(2001年)国际数学奥林匹克(IM0) 竞赛第二题为：对所有正实数 a，b，C，求证 ： —： + —= + —： ≥ 1． 2+8 ,／b2+8ca ,／c2+8ab 该届试题委员会公布 的参考答案为 ： 首先证明：—J=兰：：≥ — ÷— a0+ 86c 口 + 6 + ci 甘 (口 +6 +fi) ≥ aT(口+ 8 )． ‘ ． ‘(n +b + Ci)2一 (n )2一 (6 + ci) × 一 0的两个根都是整数，求m 的整数值． b一 (C一 1)： zlX2+ Xl+ X2+ 1= (Xl+ + ．一 分析 ：本题待定字母 m是整数 ，且指数为一 1)(xz+ 1)≥ 0，．．‘c≥ b一 1． + 同理6一 (f—1)一 lz2+-zl+ 2+1一 次，可把原方程整理成关于 的一次方程．通过 一 8 对方程解的整数分析即可获得结论 ． ( 1+1)(z2+ 1)≥ 0，．。．C≤ b+ 1， 0 6+ ． ‘ 解 ：原方程可化为关于 m一 的4—3一次方程 ：(z+ ． ． b一 1≤ c≤ b+1． 2)m+ + 一 1— 0． f j_ (3)由(2)可知 ，b与C的关系有如下三种情 生 3 ( · m=一 +1一 干1 况 ： · · ． Z 十 ① 当 f—b+ 1时，由韦达定理知 】X2一 2 因为 ， 都是整数 ，所 以-z+2— 1或一1， 一 (Xl+ X2)+ 1，．。．(xl+ 1)(xz+ 1)= 2， ≥ 即 z=一1或z一一3，代人求得相应的m= !× 。口 · 1或 5． ． ． 一1{2+1=：：一一--21，’l{z2+1=：：--一一21，’解卅干得阿川+‘ 故当m一1或m一5时，方程的两根均为整 z2 ：一 5，Xlz2— 6， ‘ 数． J- ． ． b ： 5。c一 6． 评析 ：从解题过程 中知 ，在关于 X的一元二 ．． ② 当C—b时，由韦达定理知XlX2一一(xl 次方程 中，如果参数是一次的，可 以先对这个参