第十四讲 薄板小挠度弯曲(一).doc

第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一） 概念和假定 薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。 荷载 纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。 横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。 中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。 薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设） （1）垂直于中面方向的正应变(z可以不计，由(w/(z = 0得到 w = w (x, y) 板厚度内各点具有相同的挠度。 放弃物理方程： 目地：允许(z((((x+(y) ( 0 （2）应力分量(xz、(yz、(z远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为(xz = (yz = 0（一般，薄板弯曲问题中，(xz、(yz是次要应力，(z则为更次要应力） ， ， 放弃物理方程：， 即：允许(xz和(yz等于零，但(xz和(yz不为零。 只有三个物理方程 与平面应力问题相同。 （3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u)z = 0 = 0，(v)z = 0 = 0，因此，((x)z = 0 = 0，((y)z = 0 = 0，((xy)z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy平面的投影形状不变。 弹性曲面微分方程 按位移求解，基本未知量为挠度w，需将其它物理量用w表示，由 ， 积分得到：， 由：(u)z = 0 = 0，(v)z = 0 = 0得到：f1(x, y) = f2(x, y) = 0，因此 ， 则： ，， 将应力分量(x、(y、(xy用w表示 w仅为x、y的函数，因此应力分量与z成正比。 将应力分量(xz和(yz用w表示 不考虑纵向荷载，fx = fy = 0，由平衡方程 因w = w(x, y)，以上二式积分得 由板的上下边界条件((xz)z = ((/2 = 0，((yz)z = ((/2 = 0，得到 最后，将应力分量(z用w表示，设fz = 0（如果fz ( 0，可以将板的单位面积内的体力归入板面上的面力，只对(z产生影响） 在板的下边有边界条件((z)z = (/2 = 0，因此 在板的上边有边界条件((z)z = ((/2 = (q，因此 或： 薄板的弹性曲面微分方程，薄板小挠度弯曲问题的基本方程。 称为薄板的弯曲刚度 横截面上的内力和应力 薄板弯曲问题中，要求应力分量在板的侧面上处处满足应力边界条件有困难，需应用圣维南原理，使板在厚度方向上的应力分量整体满足边界条件。 三边长度分别为dx、dy和( 的六面体，在x为常数的横截面上(x和(xy的合力（积分）为零，分别合成弯矩Mx和扭矩Mxy，考虑单位宽度上的内力 剪应力(xz合成横向剪力FSx 同理，在y为常数的横截面上 1. 内力为单位宽度的力，弯矩和扭矩的量纲为[力]，剪力的量纲为[力][长度](1； 2. 内力的符号规定：按右图为正； 3. 薄板弯曲问题中主要计算弯矩 和扭矩，横向剪力一般不计算。 各应力分量可由内力表示为 ，， ，， 按各应力分量对薄板作用效应 (x，(y：弯应力；(xy：扭应力；(xz，(yz：横向剪应力；(z：挤压应力。 边界条件，扭矩的等效剪力 矩形薄板OABC，OA边是夹支边，OC边是简支边，AB、BC边是自由边 1. 夹支边OA (w)x = 0 = 0，((w/(x)x = 0 = 0 ((w/(y)x = 0 = 0不是独立边界条件 2. 简支边OC (w)y = 0 = 0，(My)y = 0 = 0 或写为 ， 如(w)y = 0 = 0得到满足，则必有(2w/(x2 = 0，简支边的边界条件简化为 ， 3. 自由边AB 自由边的弯矩、扭矩和横向剪力均为零，三个边界条件 (My)y = b = 0，(Myx)y = b = 0，(FSy)y = b = 0 简化：将扭矩变换为等效横向剪 力，与第三式合并。设任意边界 上的微段EF = dx上作用有扭矩 Myxdx，可以变换为等效的两个力Myx，分别作用于E点和F点。 相邻微段FG = dx上作用有扭矩，可以变换为等效的两个力，分别作用于F点和G点。 在F点合成向下的，边界上的分布扭矩Myx变换为等效分布剪力，自由边AB上的总剪力：。 角点（A点和B点）还有未被低消的集中