两道多元最值问题的解题思路探究.pdf

16 数学通讯——2O13年第 1、2期(上半月) ·辅教导学 · 两道多元最值问题的解题思路探究 姜忠杰 (江苏省盱眙中学 ，211700) 近几年 的高考题中，研究多元变量最值的问 容 ，但往往出现的题 目不是一元二次形式 ，需要我 题时常出现在填空题 的把关题当中．这类 问题考 们对代数式进行灵活的变形、大胆的化简 ，等价 的 查 的知识面广 ，知识点多且杂，学生不容易掌握其 转化成我们熟悉 的 内容，而这正是学生能力 的 通法 ，了解其通性，考试 中不少学生对此类 问题采 体现． 取的往往是 “不想放弃却又不得不遗弃”的做法． 由于研究C+2a的最大值 ，容易判定a，c都是 本文针对此类问题进行一些初探，抛砖引玉 ，希望 正数时才有可能取得最大值．条件方程 中的 “a + 能给读者们一些启发． c”和 “”其实是我们非常熟悉的代数表达形式 ， 题 目1 已知 a。+c。一 一3，则 c+2a的最 可以联想到，余弦定理中有这样 的格式 ，如 ：b = 大值为 ． n0+ c — 2accosB． 对于此题 ，不少学生喜欢采用临界思想，套用 解法 3 原 问题等价于 ：在 AABC 中，b=：= 基本不等式 ，得到下面的解法 ：由O．C+3=n+c √3，B一60。，求c十2a的最大值． ≥2ac得ac≤ 3，所以c+2a≥2~／2 一2√6． 根据正弦定理得 ： 一 一 一2，所 实际上 ，这种解法存在两大错误：一是不等式 方向搞错 ，二是基本不等式使用的条件不能满足． 以a一 2sinA，c一 2sinC，从而 这是一道期末调研试题 ，当时给出的标准答 c+ 2a一 2sinC+ 4sinA 案为 ： n 一 2sin( 一A)+ 4sinA 解法1因为(+2口)z+ 生__ 一孥(。z O ’) 一 5sinA+√3cosA一2√7sin(A+ )， +C一ac)= 28，所以一2√7≤C+2a≤2√7，所 故可得 C+2a≤ 2 ，即c+2a的最大值 以c+2a的最大值为2√7． 为2 评注 确实，此解法挺大快人心的，简洁 明 评注 追本溯源后发现 ，原来这道题 目是 由 了，通俗易懂 ，计算量也极少．但作为老师这样讲 三角形中的问题演变而来，不禁让人感到这种等 解总觉得有点空洞，作为学生总会 问 “老师，你是 价让人拍案 叫绝 ，有种知其然且知其所 以然 的 怎么想到的和配成这个形式的”，所 以我们不得不 感觉． 追本溯源 ，考虑此题从何而来． 分析3 初探题 目，条件和问题的代数形式都 分析 1