只有想得好 才能解得巧——数学典型问题的简捷解.pdf

维普资讯 2004年 第8期 数学通报 31 只有想得好 才能解得巧 — — 数学典型问题的简捷解 李再湘 (长沙市教科所 410001) 解题是数学教学永恒的主题．而怎样训练数 an-≤ 口n一 口 ，诫 址 ：口n 学思维?这是我们数学教育工作者提出的一个大 (1965年 北京市中学生数学竞赛题) 的课题．本文笔者通过对一些常见的典型数学问 题的本质性的挖掘与分析，提出一些解题的思维 分析 该题常见于各种复习资料和杂志，一 般运用分类讨论并结合用数学归纳法证明．但是 策略和解题技法，以供广大读者参考． 分类的标准是不容易探求的．如果我们采用倒数 1 叠项凑配 整体处理 变换，建立新的递推关系，借助 “数列求和”的思 例1 已知 口、b、c∈R，求证： 想方法来实现，则化难为易，出奇制胜． 口 +b +c ≥ 口bc+ abc+ abc． 证明 因为 ％ ≤口n一％+l，则 (1987年 中国数学奥林匹克集训队训练 口+l≤ 口一口 =口(1一口) (*) 题) 因为数列为正数数列，所以 分析 一般运用排序不等式来进行证明，但 口(1一口)≥ 口+l0 比较复杂，如果从幂指的特征人手，发现它为齐次 则0口1． 不等式，则可运用平均值不等式进行叠项凑配，从 又由(*)式作 “倒数变换”得： 而迅速获解． 1 1 口+(1一口) 证明 由平均值不等式，有 ≥ 丁 3口 +b +c = 口+口+ 口+b +c ≥5口bc 1 1 ① 一 口n 1一 口n ‘ 同理 口+36+c≥5abc ② 所以 一1≥ ． 口 + b +3c ≥5abc ③ 由① +② +③整理即得： 1 口 + b + c ≥ 口bc+abc+abc = + k=lf上~n+l 一 ) 2 倒数变换 实现 “求和” —1 —+(n一1)1+(n一1)=n． 例2 已知正项数列{n}，对 n∈N ，都是 的角平分线上；由于三角形受力平衡，因此三顶角 即三个顶点的合力的作用线与三角形的中线重