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数列极限的定义
教材:数列极限的定义
目的:要求学生首先从实例(感性)去认识数列极限的含义,体验什么叫无限地“趋近”,然后初步学会用语言来说明数列的极限,从而使学生在学习数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。
过程:
实例:1°当无限增大时,圆的内接正边形周长无限趋近于圆周长
2°在双曲线中,当时曲线与轴的距离无限趋近于0
提出课题:数列的极限 考察下面的极限
1° 数列1:
①“项”随的增大而减少 ②但都大于0
③当无限增大时,相应的项可以“无限趋近于”常数0
2° 数列2:
①“项”随的增大而增大 ②但都小于1
③当无限增大时,相应的项可以“无限趋近于”常数1
3° 数列3:
①“项”的正负交错地排列,并且随的增大其绝对值减小
②当无限增大时,相应的项可以“无限趋近于”常数
引导观察并小结,最后抽象出定义:
一般地,当项数无限增大时,无穷数列的项无限地趋近于某个数(即无限地接近于0),那么就说数列以为极限,或者说是数列的极限。 (由于要“无限趋近于”,所以只有无穷数列才有极限)
数列1的极限为0,数列2的极限为1,数列3的极限为0
例一 (课本上例一)略
注意:首先考察数列是递增、递减还是摆动数列;再看这个数列当无限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。
练习:(共四个小题,见课本)
有些数列为必存在极限,例如:都没有极限。
例二 下列数列中哪些有极限?哪些没有?如果有,极限是几?
1. 2. 3.
4. 5.
解:1.:0,1,0,1,0,1,…… 不存在极限
2.: 极限为0
3.: 不存在极限
4.: 极限为0
5.:先考察: 无限趋近于0
∴ 数列的极限为
关于“极限”的感性认识,只有无穷数列才有极限
作业: 习题1
补充:写出下列数列的极限:1° 0.9,0.99,0.999,…… 2°
3° 4° 5°
Xupeisen110 高中数学
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