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第一讲 数列极限
一、数列极限的收敛准则
数列极限的夹逼准则
数列满足:
则数列的极限存在,且
例1、求极限 注:
例2、求极限 注:
练习:1、 注:运用重要极限
2、求
单调数列的收敛准则
单调增加有上界的数列必收敛;
单调递减有下界的数列必收敛;
通常说成:单调有界的数列必收敛。
证明 注:补充二项式定理
设,证明数列极限存在,并求其极限。
设,证明数列极限存在,并求其极限。
注:补充数学归纳法 例1、证明
例2、证明
思考:1、有界数列是否收敛?
2、数列收敛是否可推出数列收敛?反之是否成立?
3、数列为有界数列,且,数列数列是否收敛?
二、收敛数列的性质
极限的唯一性。
有界性。问题:有界数列是否收敛?
保号性。问题:若,且,是否一定有?
收敛数列的子数列必收敛。
思考:(1)数列与都发散,是否数列与也都发散?
(2)若子列与均收敛,则数列是否收敛?
(3)设,证明数列极限存在,并求其极限。
(4)求
(5)求
(6)设数列满足:,,证明存在,并求其极限。
(7)数列,则当时,是
A 无穷小量 B 无穷大量 C 有界变量 D 无界变量
2
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