2823高二数学（总复习6）.pptVIP

* 选修2-1总复习 第六课时 知识整理 1.空间向量的有关概念 （1）空间向量： 空间中具有大小和方向的量. （2）向量的长度或模： 向量的大小，表示为|a|或 . （3）向量的夹角： 在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝〈a，b〉. （4）零向量： 模为0的向量. （5）单位向量： 模为1的向量. （6）相反向量： 模相等且方向相反的向量. （7）相等向量： 模相等且方向相同的向量. （9）共面向量： 平行于同一平面的向量. （10）基向量： 不共面的三个向量. （11）正交基底： 一个基底中的三个基向量互相垂直. （8）共线向量或平行向量： 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. （12）直线的方向向量： 向量a所在直线与已知直线平行或重合. （13）法向量： 垂直于平面的直线的方向向量. （14）向量的坐标表示： 设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则 p＝(x，y，z). 2.空间向量的运算法则 （1）加法运算： 平行四边形法则，三角形法则，平行六面体法则，折线法则. （2）减法运算： 平行四边形法则，三角形法则. （3）数乘运算： 实数λ与向量a的乘积λa. λ＞0时λa与a同向，λ＜0时λa与a反向，λ＝0时λa＝0. （4）数量积运算： a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 3.空间向量的运算律 （1）加法运算： a＋b＝b＋a； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) . （2）数乘运算： λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a ＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. （3）数量积运算： a·b＝b·a； (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量定理 （1）共线定理： 向量a//b(b≠0)的充要条件是：存在实数λ，使a＝λb. 推论：若 ，则点P、A、B共线的充要条件是x＋y＝1. （2）共面定理： 若向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是：存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 推论：对空间任一点O和不共线三点A、B、C，若 ， 则点P在平面ABC内的充要条件是: x＋y＋z＝1. （3）基本定理： 若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. 5.空间向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2). （1）加法运算： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2). （2）减法运算： a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2). （3）数乘运算： λa＝(λx1，λy1，λz1). （4）数量积运算： a·b＝x1x2＋y1 y2＋z1 z2. （5）平行向量： 若a//b，则x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2( λ∈R). （6）垂直向量： 若a⊥b，则x1x2＋y1 y2＋z1 z2＝0. （7）向量的模： |a|＝ . （8）向量的夹角： cos〈a，b〉＝ （9）两点间的距离： 应用举例 例1 在空间直角坐标系中，已知点A(3，1，5)，B(－2，－1，4)，求直线AB与坐标平面xOy的交点P的坐标. P(－22，－9，0). 例2 在四面体ABCD中，点E、F满足 ， ，试推断向量 与 、 是否共面？若共面，用向量 、 表示 . A B C D E F M 例3 已知四棱锥P－ABCD的底面为平 行四边形，点M、N满足 ， ,试以 为基底表示向量 . P A B C D M N 例4 如图，在空间直角坐标系中，点B、C在y轴上，原点O为BC的中点，点D在 平面yOz内，点 ，BC＝2， ∠BDC＝90°，∠BCD＝30°， 求 的值. A B C D x y z O