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1) n次试验中，每次试验所得fn(A) 不同,是波动的。 3 概率的统计定义 定义：在不变条件下，重复n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数P附近摆动，且一般说，n越大，摆动幅度越小，称常数P为事件A发生的概率。记P(A) * * §2 随机事件的概率 1 频率的定义和性质 定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。 一、概率的统计定义 第一章 概率论的基本概念 它具有下述性质: 第一章 概率论的基本概念 251 249 256 253 251 246 244 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 2 频率的稳定性 nA fn(A) n=2时 1 2 3 4 5 6 7 n=500时 nA fn(A) 0 1 1 2 2 0 1 0 0.5 0.5 1 1 0 0.5 1 2 3 4 5 6 7 将一硬币掷n次，nA表示正面出现的次数 第一章 概率论的基本概念 2) 当n越小，fn(A)波动幅度较大，当n越大，fn(A)波动幅度较小。当n逐渐增大，fn(A)逐渐稳定于某一个常数。 3) 即用频率的稳定值来表示事件发生的可能性大小。 第一章 概率论的基本概念 注：1）事件的频率与概率有本质的区别；频率有随机波动性是变数，而概率是个常数。 2）概率的统计定义只是一种描述，指出了事件的概率是客观存在的，不能计算出P(A) 第一章 概率论的基本概念 生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： ? 样本空间的元素只有有限个； ? 每个基本事件发生的可能性相同。 我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。 二、概率的古典定义 第一章 概率论的基本概念 若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={e1, e2, …ek }, 则有 ： 例 1 将一枚硬币抛掷三次。设： 事件 A1为“恰有一次出现正面”， 事件 A2为“至少有一次出现正面”， 求 P (A1 ), P (A2 )。 第一章 概率论的基本概念 二、概率的古典定义 解：根据上一节的记号，E2 的样本空间 S2={000, 100, 010, 001, 011, 101, 110,111}, n = 8，即 S2 中包含有限个元素，且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。 A1为“恰有一次出现正面”， A1={100, 010, 001}, 第一章 概率论的基本概念 事件 A2为“至少有一次出现正面”， A2={100, 010, 001, 011, 101, 110,111} 第一章 概率论的基本概念 三、概率的几何定义 例 1 一个转盘，指针落在 角的区域内的概率是多少？ 第一章 概率论的基本概念 三、概率的几何定义 例 2 约会问题 男女生相约在2:00~3:00之间见面，女等10分钟，男等30分钟，求能会面的概率。 10 60 30 60 解. 设男女到达的时刻为 第一章 概率论的基本概念 三、概率的几何定义 例 2 约会问题 男女生相约在2:00~3:00之间见面，女等10分钟，男等30分钟，求能会面的概率。 问题：男女生共等40分钟，如何使得会面的概率最大？ 第一章 概率论的基本概念 定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件 A 的概率，满足下列三条公理： 第一章 概率论的基本概念 四、概率的公理化定义（数学定义