3 幂级数.pptVIP

说明： 由性质3，得： 幂级数 的和函数 在其收敛区间 内具有任意阶导数。 例6 求幂级数 的和函数。 解 (1)求收敛域 , 收敛 , 发散 收敛域： (2)求和函数 设和函数为 ，即 两边同乘以 ，得 两边对 求导， 得 即 两边积分，得 即 即 ， 另一方面， 和函数 在收敛域 上连续 在 右连续， 从而有 , , 作 业： P277, 1(1)(3)(5)(7)(8), 2 补充题： 求幂级数 的和函数， 并利用它求 的和。 * §3 幂 级 数 一、函数项级数 给了定义在区间 上的一列函数： 称表达式 为定义在区间 上的函数项级数， 简记为 ，即 上的函数项级数 取定 ，则上面函数项级数变为 给了区间 这是数项级数，它可能收敛，也可能发散。 定义 若数项级数 收敛， 则称 点 是函数项级数 的收敛点。 若数项级数 发散， 则称 点 是函数项级数 的发散点。 函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域。 函数项级数的发散点的全体称为它的发散域。 给了函数项级数 ， 它的收敛域为 . 则 这样， 是 上的函数， 称为函数项级数 的和函数。 和 问题： (1) 怎样求函数项级数的收敛域? (2) 怎样求函数项级数的和函数? 例 求函数项级数 的收敛域及和函数。 解 取定 , 则 收敛。 发散。 函数项级数 的收敛域是： 数项级数 数项级数 对于每一点 数项级数 收敛， 且其和为 ， 即：和函数 即 二、幂级数 形如 的函数项级数称为幂级数。 或 (1) 定理1(Abel定理) (1) 若幂级数 在点 收敛， 则当 时， 数项级数 绝对收敛。 (2) 若幂级数 在点 发散， 则当 时， 数项级数 发散。 证 (1) 考虑 ( ) 在点 收敛 收敛 有界，即： 使得 设 要证：数项级数 绝对收敛。 收敛 收敛 即 绝对收敛。 (2) (反证) ( 比较 ) 由Abel定理得： 幂级数 的收敛情况 只可能是下面三种： ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 仅在 点收敛 (2) 在整个实轴上每点都收敛 (3) 当 时， 绝对收敛； 当 时， 发散； 当 时， 可能收敛， 也可能发散。 幂级数 的收敛半径 定理 2 给了幂级数 ， 又 ， 则 ( i ) 记幂级数 的收敛半径为 ， ( ii ) ( iii) 证 任意取定一点 考察数项级数 的收敛性。 考虑 , 用比值审敛法， ( i ) 要使 即 收敛 , 即 绝对收敛。 要使 即 发散 幂级数 的收敛半径 (比值) ,从而， 发散 (比值) ( ii ) 此时， 对任意 ， 收敛 即 绝对收敛。 幂级数 在 收敛 幂级数 在整个实轴上每点都收敛 即： 它的收敛半径 (比值) ( iii ) 对任意 ， 发散 发散 幂级数 仅在 收敛 幂级数 （比值） 的收敛半径 设幂级数 的收敛半径为 则称开区间 为幂级数 的收敛区间。 说明： 例1 求幂级数 的收敛半径 与收敛域。 解 幂级数 在 收敛。 ， 发散 ， 收敛 幂级数 的收敛域： 例2 求幂级数 的收敛域。 解 幂级数 的收敛域： 例3 求幂级数 的收敛半径。 解 例4 求幂级数 的收敛半径。 解 缺项， 不能用上面的方法来求 。 任意取定 ， 考虑数项级数 用比值审敛法。 若 即 时， 收敛， 即 绝对收敛。 若 即 时， 发散 (比值) 发散 例5 求幂级数 的收敛域。 解 令 则 在 收敛。 收敛 发散 的收敛域： 的收敛域： 三、幂级数的和函数的性质 幂级数 的和函数 性质1 在它的收敛域 上连续。 性质2 幂级数 的和函数 在它的收敛域 上可积， 且有逐项求积公式 ( ) ( ) 另外, 逐项求积后所得幂级数的收敛半径不变。 性质3 幂级数 的和函数 在它的收敛区间 内可导， 且有 逐项求导公式 ( ) ( ) 另外, 逐项求导后所得幂级数的收敛半径不变。