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微积分讲课提纲 微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@zju.edu.cn 三、曲线的拐点及其求法 * * 第五节 函数图形的凹向与拐点 第三章 微分中值定理及导数的应用 一、曲线凹凸的定义 二、曲线凹向的判定定理 三、曲线的拐点及其求法 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。 o y x L3 L2 L1 A B 如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。 L1 是“下凹”弧，L2是“上凹”弧 ，L3既有上凹弧，也有下凹弧。 定义 设 f(x)在(a,b)内可导,且如果在此区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹(或称“凹”)的；如果在此区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹(或称“凸”)的。 上凹的 下凹的 一、曲线凹凸的定义 定义 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 二、定理 (曲线凹向的判定定理) 设函数 在 上连续,在 内具有二阶导数,那么 (1)若在 内 ，则 在 上图形是 上凹的 下凹的 (2)若在 内 ，则 在 上图形是 证明 分别应用L—定理，得 两式相减，得 由假设 这就证明了 同理可证（1） 例 解 注意到, 例： 解： 1.定义 2.拐点的求法 证 定理（拐点的第一充分条件） 例： 解 上凹 下凹 上凹 拐点 拐点 定理（拐点的第二充分条件） 例 解 注意: 例 解 例： 求曲线 的拐点 解 是拐点 例： * * *