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微积分讲课提纲 微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@zju.edu.cn 二、罗尔(Rolle)定理 三、拉格朗日(Lagrange)中值定理 四、柯西(Cauchy)中值定理 五、函数的单调性与极值 注意： 单调区间求法 2、函数极值 例 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 注意: 几何解释: 证 作辅助函数 特别 有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值定理了. 例 证 结论可变形为 例　 设f(x)在[a, b]上可微，且ab0，求证： (aξb) 证明 令 ∵ a, b同号，故x=0不在(a, b)内; ∴?(x),g(x)在(a, b)内可微。 ∴由柯西中值定理 例： 证： 小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤. 定理 １、单调性的判别法 证 应用拉氏定理,得 单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 例 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 例：　 讨论函数y=x-sinx 的单调性。 解：∵y?=1-cosx?0，∴ y=x-sinx在(- ?，+?)上单调增加 几何上看：单调区间的分界点 是使f ?(x)=0的点. 问题:如例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 讨论函数的单调性可以按以下步骤进行： 1）确定函数 f(x)的定义域； 2）求 f ?(x)，找出 f ?(x)=0和 f ?(x)不存在的点， 以这些点为分界点，把定义域分成若干区间； 3）在各个区间上判别 f ?(x)的符号，以此确定 f(x)的单调性。 例 解 单调区间为 例 解 单调区间为 注:区间内个别点导数为零或不存在 , 不影响区间的单调性. 例　 证明当x0时， 证：令 ∴ F(x)在(0,+∞)内单调上升，又F(0)=0，F(x)在x=0处连续， 利用单调性证明不等式 例 证 ??。 又 ∴ 由介值定理： f (x) 在（-?，+?）上有且仅有一个实根。 例 证明方程 有且仅有一个实根。 证明：令 ∴ f (x)在（-?，+?）上单调上升。 定理1(必要条件) 注意: 例如, 由图所示,函数 的极大值为: 极小值为: 函数的极值在单调区间的分界点处取得. x y 的最大值为: 最小值为: 定理(极值的第一充分条件) (是极值点情形) 函数极值的判定 (不是极值点情形) 求极值的步骤: 例 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 定理(极值的第二充分条件) 证 同理可证(2). 例 解 图形如下 注意: * * 第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理及导数的应用 一. 费马定理 二. 罗尔中值定理 三. 拉格朗日中值定理 四. 柯西中值定理 五. 函数的单调区间与极值 费马定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 微分中值定理 函数导数的定义为 即函数在点 x 处的导数等于 时,函数 的极限值. 在点 x 处的差商 导数与差商 我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家. 导数与差商的基本关系式 相等！ 将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置： 在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合. 也就是说, 至少存在一点 使得 该命题就是微分中值定理. 极值的定义 定义 1)函数的极值概念是局部性的 2)函数的极值可能有多个 3)函数的极大值可能比极小值小 4)函数的极值不在端点上取 x y o 1)函数的最值概念是全局性的 2)函数的最大值（最小值）唯一 3)函数的最大值大于等于最小值 4)函数的最值可在端点上取 注意： 比较： 则有 于是 （极小值类似可证） 费马(Femat)定理 　设函数 f (x)在Ｉ上有定义,并且在点ξ?Ｉ取到极值 , f (x)在点ξ可导 , 则 f ?(ξ)=0. 证明