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斐波那契数列百科名片“斐波那契数列”是意大利数学家列昂纳多·斐波那契首先研究的一种递归数列, 它的每一项都等于前两项之和。 此数列的前几项为1,1,2,3,5等等。 在生物数学中,许多生物现象都会呈现出斐波那契数列的规律。斐波那契数列相邻两项的比值趋近于黄金分割数。此外,斐波那契数也以密码的方式出现在诸如《达芬奇密码》的影视书籍中。目录[隐藏]
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“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年,籍贯大概是比萨)。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年,他撰写了《珠算原理》 (Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事,派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区, 列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。斐波那契数列通项公式 斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(见图)(又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。) 有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。[编辑本段]【奇妙的属性?? 随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶,而并不是指数列的数字本身的奇偶,比如第五项的平方比前后两项之积多1,第四项的平方比前后两项之积少1) 如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你:为什么64=65?其实就是利用了斐波那契 数列的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项,事实上前后两块的面积确实差1,只不过后面那个图中有一条细长的狭缝,一般人不容易注意到。 斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。 斐波那契数列(f(n),f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=2……)的其他性质: 1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n) 3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1 4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1) 5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1 6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n) 利用这一点,可以用程序编出时间复杂度仅为O(log n)的程序。 7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1) 8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2 9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2) 10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]斐波那契数列 在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 过第一行的“1”向左下方做45度斜线,之后做直线的平行线,将每条直线所过的数加起来,即得一数列1、1、2、3、5、8、…… 斐波那契数与植物花瓣 3………………………百合和蝴蝶花 5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 8………………………翠雀花 13………………………金盏 21………………………紫宛 34、55
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