第四章 点的运动学.docx

第四章 点的运动学 一、基本内容 点的运动矢量表示法，直角坐标表示法，自然坐标表示法。 （1）基本概念 在已有物理知识的基础上，重点强调切向加速度，法向加速度与密切面的概念。 （2）主要公式 二、目标要求 1．能用矢量法建立点的运动方程，求点的速度和加速度。 2．能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求点的轨迹、速度和加速度。 3．能熟练地应用自然坐标法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确理解切向加速度和法向加速度的物理意义。 4．1运动学的任务和基本概念 运动学从几何的观点出发研究物体的机械运动规律，其任务是建立物体运动的描述方法，确定物体运动的各有关特征量，如运动方程、速度、加速度和其他运动学量及相互关系。运动学不涉及运动产生和变化的原因，因而不需引入力和质量等物理量。 在运动学里，首先注意的是物体在任何时刻占有空间的位置。要想确定物体在空间的位置，必须选取另一不变形的物体作为参考体；如将坐标系固连于参考体上就构成参考坐标系，简称参考系。若物体的位置对于所选的参考系没有改变，对于这个坐标系来说，该物体是静止的。如果这物体的位置对于所选的坐标系来说是随时间而改变的，则对于这个坐标系来说，物体是运动的。运动与静止是相对的，只有在给定参考系的情形下才有明确的意义。同一物体，对于不同的坐标系，所描述的运动就不相同。在一般工程问题中，总是选取固连于地球上的参考系，本书如不特别说明，选取的参考系都固连于地面上。 在运动学中经常用到瞬时与时间间隔两个不同的概念。运动过程的某一时刻称为瞬时，它对应于时间轴上的一个点。两个不同瞬时之间的一段时间称为时间间隔，它对应于时间轴上两个时间点之间的一段区间。 在运动学研究中，通常将物体抽象为点和刚体两种模型。所谓点是指具有一定质量且其形状、大小可以忽略不计而只在空间占有确定位置的几何点。而刚体可视为由无穷多个点组成的不变形的集合体。当物体的形状和大小对所研究问题不产生影响时，可以将物体抽象为一个点；反之将物体抽象为刚体。 4．2矢量法 选取参考系上某确定点0为坐标原点，自点O向动点M作矢量r,称r为点M相对原点O的位置矢量,简称矢径。当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即 （4-1） 上式称为以矢量表示的点的运动方程。动点M在运动过程中，其矢径r的末端描绘出一条连续曲线，称为矢端曲线。显然，矢径r的矢端曲线就是动点M 的轨迹，如图4-1所示。 点的速度是矢量。动点的速度矢等于它的矢径r对时间的一阶导数，即 (4-2) 动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切向并与此点运动的方向一致。速度的大小，即速度矢的模，表明点运动的快慢，在国际单位制中，速度的单位为m/s。 点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征速度大小和方向的变化。动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间间隔的二阶导数，即 图4-1 (4-3) 有时为了方便，在字母上方加 “.”表示该量对时间的一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。因此,式(4-2)、(4-3)亦可记为 (4-4) 在国际单位制中，加速度的单位为m/s2。 如在空间任意取一点0,把动点M在连续不同瞬时的速度矢, ,…等都平行地移到点0，连接各矢量的端点就构成了矢量端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图4-2a所示。 动点的加速度矢的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行，如图4-2b所示。 速度矢端曲线 图4-2 4．3直角坐标法 取一固定的直角坐标系Oxyz，则动点M在任意瞬时的空间位置既可以用它相对于坐标原点O的矢径表示，也可以用它的三个直角坐标x,y,z表示, 如图4-3所示。 由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合，因此有如下关系： 丨2 图4-3 式中，，分别为沿三个定坐标轴的单位矢量， 如图4-3所示，由于r是时间的单值连续函数, 因此x,y,z也是时间