42不定积分的几种基本方法.pptVIP

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42不定积分的几种基本方法ppt课件

微积分讲课提纲 微积分(I) 浙江大学理学院 讲课人:朱静芬 E-mail:jfzhu@zju.edu.cn 一、第一类换元法(凑微分法) 二、第二类换元法(变量代换法) 例 求 解 令 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下:当被积函数中含有 可令 可令 可令 说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换(或双曲代换)并不是绝对的,需根据被积函数的情况来定. 说明(3) 例 求 (三角代换很繁琐) 令 解 例 求 解 令 说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例 求 令 解 例 求 解 令 (分母的阶较高) 说明(5) 例 求 解 令 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时,可采用令 (其中 为各根指数的最小公倍数) 基本积分表 ? 解 例:求积分 解 例: 解: 配方 解: 解: 即 (1) (1)称为分部积分公式 三、分部积分法 定理: 一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑 运用分部积分法进行计算: 幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 幂函数与指数函数之积 指数函数与对数函数之积 一个函数难于用其它方法积分 两个函数的乘积 说明 例 求积分 解 (再次使用分部积分法) 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 例 求积分 解 令 例 求积分 解 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就考虑设对数函数或反三角函数为 . 例 求积分 解 例 求积分 解 注意循环形式 例 求积分 解 令 利用递推关系式 可以由低次幂函 数的积分计算出 高次幂函数的积 分. 例 求积分 解 解 例 解 两边同时对 求导, 得 * * 第二节 不定积分的几种基本方法 第四章  不 定 积 分 一. 凑微分法(第一换元法) 二. 变量代换法(第二换元法) 三. 分部积分法 不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的. 现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 —— 不定积分换元法. 它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的. 问题 解决方法 利用复合函数,设置中间变量. 过程 令 在一般情况下: 设 则 如果 (可微) 由此可得换元法定理 第一类换元公式(凑微分法) 说明 使用此公式的关键在于将 化为 定理(凑微分法) 凑微分法的步骤 例 求 解(一) 解(二) 解(三) 例 求 解 一般地 例 求 解 例 求 解 例.证明: (1) (2) (3) (4) 说明 以上四式可作为公式用. (1). 证 (2). (3 ). 例 求 解 例 求 解 例 求 解 例.求 例 求 原式 解 例 求 解 例 求 解(一) (使用了三角函数恒等变形) 解(二) 类似地可推出 例 解 说明 1)用凑微分法计算不定积分,常常需要对被积函数作适当的代数或三角恒等变换. 2)有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分. 例 求 解 例   设 求 . 令 例 求 解 解: 问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 (应用“凑微分”即可求出结果) 证 设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理 第二类积分换元公式 例 求 解 令 例 求 解 令 * *

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