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定义： 2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立． 例１.对事件 A 与 B, 有 三、多个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件， 　例２. 袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色．现从袋中任意取出一球，令： A={ 取出的球涂有红色 } B={ 取出的球涂有白色 } C={ 取出的球涂有黑色 } 则： 2）n个事件的相互独立性： 　例3 设甲、乙两人同时解题，每人解出率为0.6， (1)求题目被解出的概率， (2)若欲以99%的把握解出题目，至少需几个人同时解题： Ai={ 第i人解出 }，B={ 题目被解出 } 则： 四、独立实验概型 四、独立实验概型 定理：贝努力定理 * * 则称 A 与 B 是相互独立的随机事件． 二、事件独立性的性质： 1）如果事件A 与 B 相互独立，而且 一、独立性的定义 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则 也相互独立. 证明：为方便起见，只证 相互独立即可． 这个性质很重要！ 由于 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 若A 与 B 相互独立， 若 AB =Φ， 在条件 成立的情况下 不相容与相互独立不能同时成立。 则 AB≠Φ； 则事件 A 与 B 不相互独立． 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 1）三个事件的独立性： 则称A、B、C是相互独立的随机事件． 注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的．即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立． 如果 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 3）独立随机事件的性质： 则： 其中任意 个随机事件也相互 独立 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 则：至少需6个人同时解题 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 若 是相互独立的事件，则 注：相互独立事件至少发生其一的概率的计算： 在独立的条件下有： 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 例4. 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。 L R 2 1 3 4 解 ： 设事件 Ai ( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为： 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独立性，得到 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 在相同条件下，独立地进行n次重复实验，称为独立实验概型。当实验的结果只有两个对立的事件时，也称之为n重贝努力实验。 例5. 一批产品的废品率为0.1，有放回的抽取三次，求三次中恰好有两次取到废品的概率。 解： Ai={ 恰好第i次取出废品 } 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 一般，废品率为p，重复抽取n次，求恰有k次取到废品的概率。 第一章 概率论的基本概念 §5 独立性 设一次实验中，事件A发生的概率为p（0p1），则n重贝努力实验中事件A恰好发生k次的概率为：