对称多项式在初等代数中应用.pdf

维普资讯 孝感师专学报 (自然科学版 ) l99O年茹4期 对称多项式在初等代数中的应用 黄 如 富 !· (数 学 斟 ) ’、 攘翼 ： 本文将高等代数中对称多项式的基本理论用于韧等代数中的解方程组，分解因式 、证明 恒等式等问题 ，从而使解题过程简化。 关键词 ： 对称多项式 ，初等对 称多项式，反对称多项式，判别l式 在师范院校数学专业的一些学生中，往往感到高等数学对今后从事 中学数学教学没有多 太捧用。事实与此相反 ，不少的高等数学的伺题在 中学蒙学均教学过程中起着指导作用．率 文仅就高莓代数 中对称多项式构理论毓谈它在 中学教擘 中的应用。 在 中学数学 中。常会遇到类似千下面的 题； 如： 已知二次方程 +7X--5=9，不解方程求作一个新方程 ，使它的各根是 方程 各根的：①平 方、②立方 设 ， 是原方程的根 刚 ① }+ = ( l+ 2) 一2 l2=59 i· = (l·i)=25 因此新方程为 j。一j0，+25=0 又如解方程组 X+y~3 ，如果用代入法来解就很麻烦 ，不符合大纲 中 培养运算能 I 力”的要求，即迅速、正确。从而不利于中学生运算能力的培养。 这类 问题的解决 ，归结为如何用初等对称多顼式 + ， ·：来表示对称多项 式 }+ ；+ 、 {+ {等等。这耱是赢等代数 中对稚多项式的理论 ，现敏述如下： 定义 l： 元多项式 ，(，、，x … )将其任意两元互换 ．其值恒不变 ，赔称 ，( ， z，… )为对称多项式。 ，l= l+ 2一 ·+x|I j ，：= ·2十 l·3+… + —l。 形如 ……………………… (1) ，= x1 2… 维普资讯 的 ’元对称多项式 ，称为初等对称多项式。 定理 l，设 ( …、 )是 对称多项式，则存在唯一的 元多项式中(6 、6 … 6 )，由 (1)式代八后 ，可得到多项式f(x 、 、…，x) 定义 2：-元多项式 ( ． …。 n)，在置换任意两元时 ，仅改变符号 ．则称 ‘ll， ，…，X，为反对称多瑗藏 q． ≯ ． 形如△ ( ， z_ ，) ( 二 )兰(。一 《)(立 一 )…… (n一。一 ) 的反羽称多项式，称为判别式： 显然，判别式是一个 元 ‘__1)次齐次多项式 。 若I(x ， ，…， )是对称多项式，则积△ ( ， 就是反对称多项式 ，其逆命题亦真，即 定理2 任一 次反对称多项式g(x， ，…， n)可表示成： ： (】． 2，… ．．．)=△ (l， i，… )·，(】， 2，…， ) ． ． ，： ．、 其中．( ．n ，…．^)是 (k-—t,k～r~--1))次对称