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3.3 B样条曲线与曲面 Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足： Bezier曲线或曲面不能作局部修改； Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。 样条的史话? 样条的史话(1) 1946年的红皮书 Schoenberg拉开了神话的序幕 从插值的R-K现象说起 样条－分段连续多项式 样条的史话(2) 断言样条不可能用于外形设计 几何样条出项，离散计算，峰回路转 Riesenfield, Gordan, ... 如何理解B-样条？ 样条插值，三对角方程 (函数、参数) 给定分划，所有的B样条的全体组成一个线性空间，线性空间有基函数，这就是B样条基函数 由B样条基函数代替Bezier曲线中底Bernstein基函数，即B样条曲线。 3.3.1 B样条的递推定义和性质 B样条曲线的方程定义为： 是控制多边形的顶点 (i=0,1,..,n) 称为k阶（k-1次)B样条基函数 B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定的k阶分段多项式，也即为k阶（k-1次)多项式样条。 de Boor-Cox递推定义 并约定 几个问题? 几个问题 的非零区间是什么？ 需要多少个节点？ 定义区间是什么？ 以k＝4，n=4为例 2．性质 局部支承性。 权性。 微分公式。 B样条曲线类型的划分 曲线按其首末端点是否重合，区分为闭曲线和开曲线。 B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况，可划分为四种类型。 均匀B样条曲线。 节点矢量中节点为沿参数 轴均匀或等距分布，所有 节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基。 准均匀B样条 与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k，这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质，即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线解决了这个问题 分段Bezier曲线 节点矢量中两端节点具有重复度k，所有内节点重复度为k-1，这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状，对其它曲线段的形状没有影响。并且Bezier曲线一整套简单有效的算法都可以原封不动地采用。缺点是增加了定义曲线的数据，控制顶点数及节点数。 非均匀B样条曲线 任意分布的节点矢量 ，只要在数学上成立（节点序列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。这样的节点矢量定义了非均匀B样条基。 3.3.2 B样条曲线的性质 局部性。k 阶B样条曲线上参数为 的一点至多与k个控制顶点 有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第 i个控制顶点Pi至多影响到定义在区间 上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影响。 连续性 P(t)在r重节点处的连续阶不低于 k-1-r。 凸包性 P(t)在区间 上的部分位于k个点 的凸包 内，整条曲线则位于各凸包 的并集之内。 分段参数多项式 P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式 导数公式 变差缩减性 设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。 几何不变性 B样条曲线的形状和位