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44 第一章 二阶常微分方程的边值问题 假设弦的张力为T = T (x)，试推导弦平衡问题的数学模型（1.2.12）- 0 0 （1.2.13）. 如果考虑弦自身的重力，试推导弦平衡问题的数学模型. 证明 1 (a) δ (−x) = δ (x), (b) δ (ax) = δ (x), (c) f (x)δ (x) = f (0)δ (x). |a| 其中f (x) ∈ C∞ (−∞, ∞). 求下列广义导数 (a) f (x) = { 0, x 0 1, x 0. (b) f (x) = { 3, x 0 −1, x 0. (c) f (x) = { cos x, x 0 0, x 0. 试用Green函数法求解边值问题 { d 2 du −dx ((1 + x )dx ) = f (x), a. u(0) = u , u(1) = u . 0 1 { −d2u + u = f (x), b. dx2 u(0) = u , u(1) = u . 0 1 { −x2 d2u + bx du + cu = f (x), dx2 dx c. u(0)有界, u(1) = u . 1 (c 0). 考虑下述定解问题 { − d (T (x)du ) + c(x)u = δ (x − y), dx 0 dx ′ ′ −u (0) = 0, u (l) = 0. 特征值与特征函数 45 其中c(x) ≥ c0 0. 若N (x, y)是该定