斐波那契数列MicrosoftWord文档.docVIP

斐波那契数列编辑 斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。 中文名 斐波那契数列 外文名 Fibonacci Sequence 别????名 黄金分割数列 所属学科 数论 目录 1定义 2通项公式 ??递推公式 ??通项公式 ??通项公式的推导 3与黄金分割 ??关系 ??证明 4特性 ??平方与前后项 ??与集合子集 ??奇数项求和 ??偶数项求和 ??平方求和 ??隔项关系 ??两倍项关系 ??其他公式 5应用 ??生活中斐波那契 ??黄金分割 ??杨辉三角 ??质数数量 ??尾数循环 ??自然界中巧合 ??数字谜题 6推广 ??斐波那契—卢卡斯数列 ??广义斐波那契数列 7相关数学 ??排列组合 ??兔子繁殖问题 ??数列与矩阵 8斐波那契弧线 1定义编辑 斐波那契数列指的是这样一个数列?0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368 特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。 这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）， 自然中的斐波那契数列 生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。 2通项公式编辑 递推公式 斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...[1]? 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1]? 显然这是一个线性递推数列。[1]? 通项公式 (如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。) 注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n=3,n∈N*） 通项公式的推导 [2]?方法一：利用特征方程（线性代数解法） 线性递推数列的特征方程为：　　X^2=X+1　　解得　　X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n　　∵F(1)=F(2)=1　　∴C1*X1 + C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1　?　　解得C1=1/√5，C2=-1/√5　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】 方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 设常数r，s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 则r+s=1， -rs=1。 n≥3时，有。 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 …… F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。 联立以上n-2个式子，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。 ∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。 上式可化简得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 那么： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。 …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。 （这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。 =[s^(n-1)