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巧用构造法求递推数列的通项公式
蒋明权
利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值,自从二十世纪八十年代以来,一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略,希望能抛砖引玉。
一、构造等差数列法
例1.在数列{an}中,,求通项公式an。
解:对原递推式两边同除以可得:
①
令②
则①即为,则数列{bn}为首项是,公差是的等差数列,因而,代入②式中得。
故所求的通项公式是
二、构造等比数列法
1.定义构造法
利用等比数列的定义,通过变换,构造等比数列的方法。
例2.设在数列{an}中,,求{an}的通项公式。
解:将原递推式变形为
①
②
①/②得:,
即③
设④
③式可化为,则数列{bn}是以b1=为首项,公比为2的等比数列,于是,代入④式得:=,解得为所求。
2.(A、B为常数)型递推式
可构造为形如的等比数列。
例3.已知数列,其中,求通项公式。
解:原递推式可化为:,则数列是以为首项,公比为3的等比数列,于是,故。
3.(A、B、C为常数,下同)型递推式
可构造为形如的等比数列。
例4.已知数列,其中,且,求通项公式an。
解:将原递推变形为,设bn=。①
得②
设②式可化为,比较得于是有
数列是一个以为首项,公比是-3的等比数列。
所以,即,代入①式中得:
为所求。
4.型递推式
可构造为形如的等比数列。
例5.在数列中,,求通项公式。
解:原递推式可化为,比较系数可得:,,上式即为是一个等比数列,首项
,公比为。
所以。
即,故为所求。
三、函数构造法
对于某些比较复杂的递推式,通过分析结构,联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数,再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。
例6.在数列中,,求通项公式an。
分析:首先考虑所给递推式与公式的联系。
解:设,则同理,,…。
即,猜想。下面用数学归纳法加以证明(证明略)。
由于即,解得,于是
为所求。
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