构造法求递推数列的通项公式.docVIP

巧用构造法求递推数列的通项公式 蒋明权 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。 一、构造等差数列法 例1.在数列{an}中，，求通项公式an。 解：对原递推式两边同除以可得： ① 令② 则①即为，则数列{bn}为首项是，公差是的等差数列，因而，代入②式中得。 故所求的通项公式是 二、构造等比数列法 1.定义构造法 利用等比数列的定义，通过变换，构造等比数列的方法。 例2.设在数列{an}中，，求{an}的通项公式。 解：将原递推式变形为 ① ② ①/②得：， 即③ 设④ ③式可化为，则数列{bn}是以b1＝为首项，公比为2的等比数列，于是，代入④式得：＝，解得为所求。 2.（A、B为常数）型递推式 可构造为形如的等比数列。 例3.已知数列，其中，求通项公式。 解：原递推式可化为：，则数列是以为首项，公比为3的等比数列，于是，故。 3.（A、B、C为常数，下同）型递推式 可构造为形如的等比数列。 例4.已知数列，其中，且，求通项公式an。 解：将原递推变形为，设bn＝。① 得② 设②式可化为，比较得于是有 数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。 所以，即，代入①式中得： 为所求。 4.型递推式 可构造为形如的等比数列。 例5.在数列中，，求通项公式。 解：原递推式可化为，比较系数可得：，，上式即为是一个等比数列，首项 ，公比为。 所以。 即，故为所求。 三、函数构造法 对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。 例6.在数列中，，求通项公式an。 分析：首先考虑所给递推式与公式的联系。 解：设，则同理，，…。 即，猜想。下面用数学归纳法加以证明（证明略）。 由于即，解得，于是 为所求。 　　　　　　　　　　快乐学习，尽在苏州中学网校 1