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空间向量证明 立体几何问题 例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. X Y Z 例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD∥面CB1D1 题型七：面面平行 或先求两平面的法向量 再证明 例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点， 求证：面AED⊥面A1FD1 A B C D A1 B1 C1 D1 E F X Y Z 题型八：面面垂直 或证明两平面的法向量垂直 * * 空间 向量 空间 向量 的运 算 空间 向量 基本 定理 空间 向量 的坐 标运 算 加减 和数 乘运 算 共线 向量 共面 向量 空间 向量 的数 量积 知识结构 夹角和距离 平行和垂直 1、空间直角坐标系 以单位正方体 的顶点O为原点，分别以射线OA，OC， 的方向 为正方向，以线段OA，OC， 的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 C D B A C O A B y z x O为坐标原点， x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面 一、基本概念 右手直角坐标系 空间直角坐标系 —Oxyz 横轴 纵轴 竖轴 2、空间直角坐标系中点的坐标 有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标, z叫做点M的竖坐标 点M （X，Y，Z） 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量. 4、平面的法向量 n α 3、直线的方向向量 1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 2、根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组 3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好), 便得到平面法向量n的坐标. a n b 5、平面法向量的求法 设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标 例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量 解：平面ABC的法向量为: 解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）， 则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）， 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得 解得 取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1) A A B O z y A1 C1 B1 A x C D D1 5、两法向量所成的角与二面角的关系 设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角. 二、基本公式： 1、两点间的距离公式（线段的长度） 2、向量的长度公式（向量的模） 3、向量的坐标运算公式 4、两个向量平行的条件 5、两个向量垂直的条件 或 7、重心坐标公式 6、中点坐标公式 9、直线与平面所成角公式 ( 为 的法向量) 8、直线与直线所成角公式 10、平面与平面所成角公式 ( 为二面角两个半平面的法向量） 11、点到平面的距离公式 （PM为平面 的斜线, 为平面 的法向量） 12、异面直线的距离公式 （A,B为异面直线上两点, 为公垂线的方向向量） 利用向量求角 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面所成的角（二面角） 利用向量求距离 点到直线的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 平行到平面的距离 直线到直线的距离 三、基本应用 利用向量证平行 利用向量证垂直 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 ２、垂直问题 四、基本方法 1、平行问题 ３、角度问题 ４、距离问题 （１）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。 （２）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。 例： 题型一：线线角 五、典型例题 所以： 题型一：线线角 解：以点C 为坐标原点建立空间 直角坐标系 如图所示， 不妨设