第10次课第4章弹性力学解题方法问题-2.ppt

o x y l 位移边界条件： 位移解： 曲率： 弹性力学基本方程位移解法: 不考虑体力有: 非圆等直杆弹性扭转问题位移解法: s 非圆等直杆弹性扭转问题位移解法: s 边界条件: 在 内 侧表面边界条件: 端面边界条件: 非圆等直杆弹性扭转问题位移解法: 在 内 在侧表面 (Neumann问题) s 设有非圆等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 用应力法解法。 解：设 M M 平衡方程: 应力函数 设有非圆等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 用应力法解。 解： M M 应力表示的变形协调方程: 设有非圆等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 用应力法解。 解： M M 设有非圆等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 用应力法解。 解：边界条件 M M s ∵切应力在边界上为零, ∴C取0 。 沿周边s。 设有非圆等直截面柱体:不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 用应力法解。 解：数学模型 M M 在边界s上。 称泊松方程的第一边值问题。 s 设有矩形等直截面柱体:不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解： 齐次解， 特解。 调和函数； M M 设有矩形等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解：求特解 求齐次解， M M 设有矩形等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解： 通解： M M 边界条件： 设有矩形等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解： M M 是关于x的奇函数, 是关于y的奇函数, 设有矩形等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解： M M 展开 设有矩形等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解： M M 设有矩形等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解：端部边界条件 M M s 设有矩形等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解：令 M M 设有矩形等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解： M M 设有矩形等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解： M M 设有矩形等直截面柱体：不计体力，两端面受扭矩M的作用取杆端面为xy平面，z 轴沿杆的轴向。求应力。 解： M M 1.应力法解题要点 4.3应力解法 解题思路：以应力分量 σij 作为基本未知 量，用六个应力分量表示变形协调方程，联立平衡方程与变形协调方程求解应力； 关键点：用应力表示变形协调方程。 本构关系：用应力表示应变； 用应力表示的变形协调方程: 用张量形式表示: 称为Michell方程 对于位移表示的平衡方程 用张量形式推导Michell方程 对j求导 整理 两式相加 对i求导 由几何方程 代入 移项 对于平衡方程 令j=i 即得 得 代入 得 或 因为 所以 此即 Michell方程。 当满足应力边界条件时，即为该问题的解答。 解 Michell方程: 4.4 常体积力下应力和位移的特点 解弹性力学时，常按体力fi =常数处理，特别是外力作用很强时， 按fi =0处理。 当fi =常数有 则Michell方程: 方程变为: 上式称 Beltremi方程。 1. Beltremi方程 展开Beltremi方程 解 Beltremi方程，当满足应力边界条件时即为该问题的解答。 2. fi =常数时应力特点 当fi =常数有 即 由体积变形定律： 有: 调和方程 调和方程 对上式作双调和运算有 由Beltremi方程 则 双调和方程 有 3. fi =常数时位移特点 由 对上式做双调和运算 双调和方程 3. fi =常数时位移特点 对于位移表示的平衡方程： 对上式做调和运算 双调和方程 应力法当体力为常数时, 求解弹性力学问题变为求下方程： 同时解答满足力边界条件。 当以应力作为基本未知量求解时，归结为在给定的力边界条件下，求解平衡方程和应力表示的变形协调方程所组成的偏微分方程组； 应力解法的基本未知量