第17章外汇和分形美式期权定价.ppt

第17章 外汇和分形美式期权定价 17.1 美式外汇期权定价模型 17.2 分形美式期权定价 我们在前面为欧式期权和美式期权定价时，都假设标的资产的对数收益率服从正态分布，事实上这个假设在现实中很难成立，分形期权定价模型可以解决该问题。的本章主要介绍美式外汇期权定价模型、分形期权定价模型和案例研究。这些美式期权定价模型的理论基础是连续时间美式期权定价模型。 17.1 美式外汇期权定价模型 外汇期权又称货币期权。在美国国际货币市场（IMM），有美元兑主要货币期权。例如，有欧元兑美元、英镑兑美元、日元兑美元、人民币兑美元期权。货币期权和约为购买者提供了在一定期限内以指定的价格买卖某种货币的权利（而非义务）。货币期权有看涨期权和看跌期权。 17.1.1 现金模型 假设银行存款利率按连续复利计算，而且是零利率，中间不支付利息。如果人民币的年利率为 ，零时刻1元人民币国债在t时刻的价值为： （17-1） 同理，如果美元的年利率为 ，零时刻1美元国债在 时刻的价值为： （17-2） 事实上，美元兑换人民币的数量每时每刻都在变化。根据历史数据统计，两者之间服从几何布朗运动。假设零时刻1美元兑换 人民币，则 时刻1美元可兑换的人民币数量为一个随机变量，可表示为： （17-3） 其中：汇率波动 是由随机因素决定的； 而汇率漂移 是由两国的银行存款利率和综合国力所决定的； 为 测度下的布朗运动。 、 、 和 为常数。 17.1.2 汇率波动过程 从现金模型中我们可以看出，人民币债券 、美元债券 和汇率 都是不可交易的。而且 和 的乘积 是可交易的。计量单位是人民币。 （17-4） 公式（17-4）表示 时刻美元投资者持有 美元现金，汇率按 所表示的布朗运动进行波动， 时刻能兑换 元人民币。 用 时刻的人民币 对 进行贴现，得到贴现后的美元兑人民币的汇率 （17-5） 根据伊滕定理，我们可以求出随机过程（17-5）的随机微分方程： （17-6） 如果外汇市场没有套利机会，式（17-6）所表示的随机过程必须是鞅过程。 如果 是 测度下的布朗运动，利用CMG测度变换定理,让 （17-7） 则式（17-6）变成 测度下的鞅过程 （17-8） 鞅过程（17-8）的均值为零，根据Ito定理，我们可以求出它的解： （17-9） 因为 即 （17-10） 用随机过程（17-10）表示的汇率过程没有套利机会。 17.1.3 远期汇率 下面介绍远期汇率。如果没有套利机会， 年后，一美元能兑换多少人民币呢？也就是说， 年后，投资者愿意出什么样的价格买入人民币。 假设今天远期汇率价格为 （CNY/USD） ，而 年后，一美元实际能买 元人民币。则远期汇率的价值为： 如果外汇市场没有套利机会，则远期汇率的价值应该等于零，也就是说，远期汇率的价格应该等于汇率过程 在 时刻的价格的期望值。 远期汇率的期望值为： （17-11） 用模型（17-11）计算出的远期汇率没有套利机会。把式（17-11）代入式（17-10），得到 （17-12） 模型(17-12)为美式外汇期权定价的基础。 17.1.4 美式外汇期权定价模型 假设我们手里有一张外汇期权和约（我们暂时不考虑和约的名义本金数量），期权和约的期限为 年，执行价格为 。假设是欧式看涨期权，欧式外汇期权和约在到期执行期权。在签约日，单位美元欧式看涨期权的价值为： 表示欧式期权的当前价值。 对于美式外汇期权，可以在购买外汇期权的当天执行期权，也可以在期权到期前任何时刻执行期权。执行美式期权后，投资者可以把资金投资到利率为 、期限为 年的无风险人民币债券。因此，美式外汇看涨期权的当前价值是欧式外汇看涨期权的