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三、求秩． 例２　设 例3 设 作业 93页 5. (2) (3). * * 因此 ，　　　　 从而Ｒ（Ｂ）≥ｒ 当 ，分三种情况讨论： ①Ｄｒ中不含有第 i行; ②Ｄｒ中同时含有第 i行和第 j 行; ③Ｄｒ中含有第 i行，但不含有第 j 行. 对①和 ②两种情况，显然Ｂ 中与Ｄｒ对应的子 式　　　　　　，故Ｒ（Ｂ）≥ｒ； 对于③，由 若 , 则因 中不含有第 i行，可知Ａ中 有不含第 i行的ｒ阶非零子式，从而Ｒ（Ｂ）≥ｒ；若 ,则 ， 故也有Ｒ（B）≥ｒ. 以上证明了若Ａ经过一次初等行变换为Ｂ， 则Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ），由于Ｂ亦可经过一次初等行变换变为Ａ．故也有Ｒ（Ｂ）≤Ｒ（Ａ）．因此Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）。 经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次初等行变换时，矩阵的秩依然不变。 同理可证：Ａ经过有限次初等列变换，变成矩阵Ｂ，则有　Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）． 总之，若Ａ经过有限次初等变换变为矩阵Ｂ，则有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）． 如在例1中，我们已经计算 的秩为2，将A施行初等变换得 显然，R(B) = 2 , 故 R(A) = R(B) 。 通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的 秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可。 求矩阵Ａ的秩．并求Ａ的一个最高阶的非零子式. 解 先求Ａ的秩。故对Ａ作初等行变换，变成行阶梯形矩阵： 因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以 R(B) = 3。从而 R(A) = 3。 A的一个最高阶非零子式为： 设A为n阶可逆矩阵，则|A|≠0,从而R(A) = n，称A为满 秩矩阵。 若A为n阶不可逆矩阵，则|A|＝0,从而R(A) n，称A为 降秩矩阵。 求矩阵A及矩阵B=（A | b）的秩。 解 因此，R(A) = 2 , R(B) = 3. 例4 设 若秩R(AB+B) = 2 ，求a 。 解 因为 AB + B = (A + E)B 将所得的矩阵施以初等变换得 由于R(AB+B) = 2，所以12－a ＝ 0。 故 a =12。 *