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方程根的分布与函数的值域 化州市实验中学 房振声 内容摘要：建立函数思想是中学数学教学的重要课题，而函数与方 程思想是是高中数学的重要内容。本文主要探讨如何利用函数与方程思 想将方程根的分布问题转化为函数的值域（最值）进行求解。 关键词：函数思想 方程思想 转化 根的分布 值域 [1] 高中代数中没有明确地讲根的分布，但讲了函数的值域 ，高考对 根的分布问题要求很高，这是因为根的分布问题可以转化成我们所学的 知识，如函数的值域（最值）问题等，为此我们对此进行探讨。 例1：关于 的方程 2 至少有一个负根的充要条件是 x ax 2x 1 0 分析：如果用根的分布知识去做就显得复杂；如果转化成函数的问 题，令f x ax 2 2x 1 ，要分 的正负零三种情况去讨论也很复杂，如   a 2 2x 1 果换一种方式，由ax 2x 1 0 得a  2 x  0 ，对等式右侧构造函 x 数求其值域 （最值）即可。 解：由ax2 2x 1 0 x  0得 2 2x 1  1 2  1  a     1 1 x  0 ， 2  2      x x x  x  2  1  原命题等价于求函数f x  1 1在,0上的值域，     x  从而a f x 1 。   由此看来，方程根的分布问题可以根据方程与函数的思想转化成函 数的值域问题，通常有两种方法：第一种直接找出方程f x 0 左边对   应的函数y f x ，我们通常使用这种方法；第二种由方程f x 0 解出     参数a g x ，从而转化成求函数a g x 的值域问题，这种方法很容易     被我们忽略，下面主要讲第二种方法。 x x 1 1 例 2 ：关于 的方程    有实数解，求实数 的取值 x   4   m