第4章李雅普诺夫稳定性分析.ppt

引言 第四章 李雅普诺夫稳定性分析 李雅普诺夫稳定性理论 4.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 2 李雅普诺夫意义下的稳定性 3 渐近稳定性 5 不稳定性 4.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 这表明， 2）结论2）证明 4.3 李雅普诺夫第二法（直接法） ⑵ 负定性 如果 – V(x) 是正定函数，则标量函数V(x)称为负定函数。 2 李雅普诺夫第二法主要定理 定理4-11 (定常系统大范围渐近稳定判别定理1) 是负定的。 定理4-12 (定常系统大范围渐近稳定判别定理2) ⑶ 检查是否 不恒等于零。 将此代入系统状态方程可得 4.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析 定理4-14 例4-41 已知线性定常连续系统状态方程为，试用李雅普诺夫方程判定系统的渐近稳定性。 展开有 例4-42 试用李雅普诺夫方程确定使下图所示系统渐近稳定的 k 值范围。 令 解得 2 线性定常离散系统渐近稳定的判别 定理4-15 系统 * * 稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件下系统方程解是否具有收敛性，而与输入作用无关。 线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，与系统的初始条件及外界扰动的大小无关； 非线性系统的稳定性既与系统的结构和参数，又与系统的初始条件及外界扰动的大小有关。 稳定性判别方法： 现代控制理论中： 一般系统(包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统)的稳定性：李雅普诺夫稳定性理论。 经典控制理论中： 线性定常系统的稳定性： 代数判据(如，赫尔维茨判据、劳斯判据等)； 奈魁斯特判据；对数判据；根轨迹判据。 非线性系统稳定性： 描述函数法—要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能； 相平面法—仅适合于一阶、二阶非线性系统。 李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法： 间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李雅普诺夫第一法； 直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。 李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般性理论，它采用状态向量描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了用其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制中的稳定性判据、以及以后可能接触到的超稳定性理论的适应范围更广，因而得到广泛应用。 设系统动态方程为 式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或时变的n维函数，其展开式为 假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻，则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足 的状态xe称为平衡状态。平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。若已知状态方程，令 所求得的解x，便是平衡状态。 线性定常系统 ，其平衡状态满足Axe = 0，当A为非奇异矩阵时，系统只有唯一的零解，即只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。若A为奇异矩阵，则系统存在有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。 设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||·||为欧几里德范数，其几何意义是空间距离的尺度。 实数δ与ε有关，通常也与t0有关。 如果δ与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。 要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S