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第4讲:连续势的集合、P进位表数法精要

第4讲 连续势的集合、P进位表数法 目的:掌握连续势及其基本性质,了解连 续统假设;熟悉P进位表数法。 重点与难点:连续势的性质。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 证明:记 ,则 , 且 显然是 与 之间的一个一一对应,故 。往证 ,若不然,存在 与 之间的一个一一对应,记为 ,则对任意 , ,记 ,则 ,由于 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 是一一对应,故存在 ,使 ,若 ,则 ,得到矛盾,若 ,即 ,则依 的定义,应有 ,再次得矛盾。由此可见 的确不能与 对等。证毕。 * * 一. 连续势的例 问题1:有限集或可数集的一切子集构 成的集具有大于该集的势,由 此我们可以作出何种猜测? 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 问题2:给定一个集合,如何构造 一个集合,使其具有比给 定集合更大的势? 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 定理9(i)假设M是由两个元素 作成 的元素序列全体,则 。 (ii)若 是可数集,则 的子集全体所 构成的集合F有连续势。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 证明:如果我们将 对应到0, 对应到1,那么,排成的任何序列便对应到一个二进制表示的数。由此就有可能作出M与直线上子集间的一一对应。且体做法如下: 对任意 ,令 ,其中 时, ; 时, ,这样便建立了 到(0,1)内的一个对应关系,然而,和前面讨论 的势一样,这里也涉及到小数的表示法 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 是否唯一的问题。在二进制中。0,100…也可以表为0.0111…1…因此,我们在这里也应作一规定,即小数表示排队仅有有限个不为零的情形。可是作了这种规定后,前面 的定义又出现了问题,假如序列 中只有有限个为 ,其余均为 ,则将 对应到只有有限位数不为零的小数。其实,克服这一困难并不难,我们可以从 中将这种情况暂时排除。即记, 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 显然 是有限集,令 ,到 最 多可数,于是 ,只就 讨论的话, 便是 到(0,1)之间的一一对应关系,从而 。进一步 。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 (ii)的证明与(i)有些类似,由于 可数,故可设 ,对任意 ,令 ,其中当 时, ,否则 ,不难验证,只要象(i)那样去掉有限位数不为0的情况,便可知 建立了 ( 是 的可数子集)与(0,1)之间的一一对应关系,进而 。证毕。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 定理10 设 是一集合, 的一切子集 所构成的集合记作 ,则 。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 二.不存在最大势 定理10 说明不存在最大势。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 三.P进位表数法 问题3:回忆十进制表数法,除此以外,我

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