教师版第一章第三讲方程理论.doc

教师版第一章第 一元二次方程 3.1 根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为 ． 因为a≠0，所以，4a2＞0．于是 （1）当b2－4ac＞0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当b2－4ac＝0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当b2－4ac＜0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 解：（1）Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根 ， ． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以， 当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； 当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以 当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根 ， ； 当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； 当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根． 说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．没有实数根，试判断关于x的方程的根的情况． 解：∵ 方程没有实数根， ∴ ∴ 对于方程． 当m＝5时，方程有一个实数根； 当m≠5时，． ∵ 　∴ ． ∴，方程有两个不相等的实数根． 综上，当m＝5时，方程有一个实数根； 　　　当且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根． 题3. 已知，求证： 关于的一元二次方程有两个相等实数根. 证明：∵且 ∴ ∴原方程有两个相等实数根. 练习： 1一元二次方程2kx2+（8k+1）x+8k=0有两个实数根，确定k的取值范围． 解：由题意得：解得，即，所以当 原方程有两个实数根． 2．求证：如果关于x的方程 没有实数根，那么，关于y的方程 一定有两个不相等的实数根. 　　分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 　　证明? 设方程 即 的根的判别式为 ，方程 的根的判别式为 ，则 　　 　　∵方程 无实数根， 　　 ，即 ，解得： 　　当 时， 　　 ，即 . 　　故方程 有两个不相等的实数根. 3．已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根. 　　求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； 　　（2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 . 　　分析：运用根的判别式证之. 　　证明? ∵方程 有两个相等的实数根， 　　 　　整理，得 . 　　（1）方程 的判别式 　　 . 　　 　　∴方程 有两个不相等的实数根. 　　（2）解方程 ，得 　　 　　 　　说明：对于（2），也可以利用下节的根与系数关系证明. 4 证明:不论,,为任何实数,关于的方程都有实数根. 证明：∵ ∴不论,,为任何实数,原方程都有实数根. 3.2 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 ，， 则有 ； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理． 特别地