第6章_数理统计的基本概念.ppt

§6.3 抽样分布 为了用概率的方法探讨一个统计量在推断总体时的性能或把握推断结论的置信程度，我们必须要知道统计量的分布或近似分布.统计量的分布，通常称为抽样分布. 先讨论统计量的数字特征. 6.3.1 样本均值和样本方差的数字特征 6.3.2 三种重要的概率分布 1. ?2分布（为简便计，不通过Г分布，直接给出?2分布定义 ） 命题6.3.2 设X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态N(0，1)分布，则称随机变量 服从自由度为n的?2分布，记为?2 ～ ?2(n)． 此处自由度指?2中包含独立变量的个数． 可以证明，?2(n)的概率密度为 其中?(?)称为伽马函数， ?2分布概率密度 图6.1 ?2(n)分布的概率密度曲线 可以看出，随着n的增大图形趋于“平缓”，其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动． ?2分布具有下面性质： (1) (可加性) 设 是两个相互独立的随机变量，且 (2) 设 证明 (1) 由?2分布的定义易得证明． (2) 因为 存在相互独立、同分布于 N(0，1)的随机变量X1，X2，…，Xn，使 则 由于Xi独立，且注意到N(0，1)的四阶矩为3，可得 英国统计学家费歇（R.A.Fisher）曾证明， 当n较大时， 近似服从 关于?2分布以及后面将要讲到的t分布、F分布，要求做到以下两点： （1）从正向理解三种分布的定义，即三种分布是由哪些分布衍生出来的，什么样的随机变量服从上述三种分布； （2）从逆向理解三种分布的定义，即如果某随机变量服从上述三种分布之一种，则该随机变量可以写成什么样的表达式（哪种随机变量的衍生式）. 至于服从上述三种分布的随机变量的密度函数形式不要求记忆。 2. t分布 命题6.3.3 设X ～ N(0，1)，Y ～ ?2(n)，X与Y独立，则称随机变 量 服从自由度为的t分布，又称为学生氏分布 (Student distribution)， 记为T ～ t(n)． 可以证明t(n)的概率密度为 图6-2 t分布的概率密度曲线 图6.2 t分布的概率密度曲线 显然t分布的概率密度是x的偶函数，图6.2 描绘了 n = 1，3，7时t(n)的概率密度曲线．作为比较，还描绘了 N(0，1)的概率密度曲线． 可看出，随着n的增大，t(n)的概率密度曲线与N(0，1)的概率密 度曲线越来越接近． 可以证明t分布具有下面性质： 即当n趋向无穷时,t(n)近似于标准正态分布N(0,1)． 一般地，若 n 30，就可认为t(n)基本与N(0，1)相差无几了．另外，经简 单积分可知，若 则 图6.3 F分布的概率密度曲线 由F分布的定义 容易看出， 若F ～F(m，n)，则1/F ～F(n，m)． 在统计推断（区间估计和假设检验）中，已知总体X的分布及某概率值α，需要知道X小于等于哪个数的