1.3标量场的梯度.ppt

* 一、方向导数 方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。 1.方向导数的定义 方向导数的物理意义 1.3 标量场的梯度 方向导数与选取的考察方向有关。 * 2.方向导数的计算公式 设 方向的方向余弦是 ，即 则方向导数的计算公式为 设一个标量函数u(x,y,z)，若函数u在点P可微，则u在点P沿任意方向l的方向导数为 * 二、标量场的梯度 　　 标量场在什么方向上变化率最大？其最大的变化率是多少？ 1.梯度的概念 梯度 标量场u沿指定方向的变化率就是标量场在该方向的方向导数 * 哈密顿算符 既具有矢量性质，又具有微分性质 矢量——服从矢量运算的规则; 算子——代表一种微分运算，服从微分运算规则; ▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时才代表一种运算。 2）只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的位置。 * 标量场u的梯度， 用 表示 梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。 式中： 是场量u变化率最大的方向上的单位矢量。 标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影 * 梯度的性质 等温线分布 标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数 直角坐标系中 柱坐标系中 球坐标系中 * 2.梯度的基本运算公式 3.梯度的重要性质 式中： 为常数； 为坐标变量函数； * 例1 三维高度场的梯度 图1 三维高度场的梯度 高度场的梯度与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变 化率； 指向地势升高的方向。 * 例2 电位场的梯度 图2 电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位增加的方向。 * x y z o 源点 场点 场所在的空间位置点称为场点，记为 产生场的场源所在的空间位置点称为源点，记为 源点到场点的距离为 从源点指向场点的矢量为 * * *