1.9：三矢量的混合积.ppt

* 1.9 三矢量的混合积 1.复习(数性积和矢性积) 是一个数量. 数性积 是一个矢量. 现在考虑： 2.定义 （1）矢量混合积的几何意义： 关于混合积的说明： b c a ? b a S=|a ? b| ? h 3. 混合积的几何意义 c h ? a c a ? b b 3. 混合积的几何意义 ? 其混合积 (abc) = 0 三矢 a, b, c共面 因此， 定理1.9.1 三个不共面的矢量 的混合积的绝 对值等于以 为棱的平行六面体的体积, 并且 当 构成右手系时混合积为正数; 当 构成左手系时混合积为负数, 也就是有 定理1.9.2 证明: 先证明必要性 “?”，即已知三个矢量 共面，求证 因为 ，所以 ? 证毕. 再证明充分性 “?”，即已知 求证: 三个矢量共面. 由 及定义,得 即 而又 所以, 矢量 垂直, 首先,若 即 结论显然成立. 以下设 所以 证毕. 定理1.9.3 证明: 三个矢量共面时,结论显然成立. 以下设它们不共面. 的绝对值都等于以 为 棱的平行六面体的体积, 即它们的绝对值相等. 又因为 具有相同的左右手系, (因为轮换不改变左右手系) 即它们的符号也相同. 证毕. 只证明第一组. 第二组可以类似考虑. 4.混合积的性质 推论 例1 设三向量 满足 证明: 由 两边与 所以, 5.矢量混合积在直角坐标系下的分量表示 设直角坐标系 定理1.9.4 证明: 所以, 推论 三个矢量 共面的充要条件为 思考：在仿射坐标系下以上二式成立否？ 例2. 已知四面体ABCD的顶点坐标A(0, 0, 0), B(6, 0, 6), C(4, 3, 0), D(2, -1, 3), 求它的体积. A B C D 解: 它的体积等于以 为棱的平行六面体体积的六分之一 所以 解 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.