数学建模1总例.ppt

* 第一节 函数及其图形 用微分方程建立数学模型 一、案例 1 [人口问题 ] 成正比，从而建立了Malthus人口模型。 英国学者马尔萨斯(Malthus，1766-1834)认为 人口的相对增长率为常数，即如果设t时刻的人口 数为x(t)，则人口增长速度 与人口总量x(t) 的方程称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的右端是只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积． 形如： (1) 可分离变量的微分方程通过分离变量为 (2) 二、概念及公式的引出 的形式，即微分方程的一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx,将上式两端积分，得 设G(y),F(x)分别为g(y),f(x)原函数，则得微分方程 G(y)=F(x)+C 。 的通解为： 练习１ 1999年我国的国民生产总值（GDP）为80 423亿元，如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我国的GDP是多少？ [国民生产总值] 解 (1)建立微分方程 记t=0代表1999年，并设第t年我国的GDP为P(t)．由题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即 得微分方程 （2）求通解 分离变量得 方程两边同时积分，得 （3）求特解 将p(0)=80423代入通解，得C=80423，所以从1999年起第t年我国的GDP为 将t=2010-1999=11代入上式，得2010年我国的GDP的预测值为 练习2 [环境污染问题] 某水塘原有50000t清水(不含有害杂质)，从时间t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘．流入的速度为2t/min，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t/min的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到4%? 解 （1）建立微分方程 设在时刻t塘中有害物质的含量为Q(t)，此时塘中 单位时间内有害物质的变化量 =(单位时间内流进塘内有害物质的量) -(单位时间内流出塘的有害物质的量) 有害物质的浓度为 ，于是有 即 　　　　 , （1） 初始条件为Q(0)=0. （2）求通解 式（1）是可分离变量方程，分离变量得 积分，得 即 （3）求特解 由初始条件t=0,Q=0得C=-2500，故 当塘中有害物质浓度达到4%时，应有 由此解得 (min) 即经过670.6min后，塘中有害物质浓度达到4%， ，塘中有害物质的最终浓度为 由于 练习3 [刑事侦察中死亡时间的鉴定] 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度H随时间t的变化规律．又如果尸体发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？ 注 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与 物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却 定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定． 解　（1）建立微分方程 的冷却速度 其中k0是常数，初始条件为H(0)=37． 设尸体的温度为H(t)(t从谋杀后计)，根据题意，尸体 正比．即 与尸体温度H和空气温度20之差成 分离变量得 （2）求通解 研究 积分得 把初值条件H(0)=37代入通解，求得C=17．于是该初值问题的解为 为求出k值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，有 （3）求特解