数学建模第一讲课件.ppt

数学建模 第一讲 数学建模概论 1.1 数学模型与我们的距离 1.2 数学模型与战争的奥妙 1.3 数学建模的诀窍—亲自动手 CT机 1.1 数学模型与我们的距离 数学模型每天服务在我们身边 核心—RADON变换数学模型，1917年奥地利数学家Radon在数学研究中首先推导出的，为图像重建提供了理论基础。 光源 人眼 光源 人眼 一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球 CT机原理 单方向观察无法确定球的数目和透明度 让物体旋转从多角度观察能分辨出5个球及各自的透明度 人体内脏 胶片 传统的X射线成像原理 CT技术原理 探测器 X射线 X光管 人体内脏 CT技术: 在不同深度的断面上,从各个角度用探测器接收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线; 经过测量和计算将人体器官和组织的影像重新构建. 图像重建 程控交换机 程控交换机的用户电话话务量、呼损率和线数之间的协调——排队数学模型。 HJD-04 排队数学模型有三个最重要的特征： (1)相继顾客到达间隔时间的分布; (2)服务时间的分布; (3)服务台个数。 描述间隔时间分布和服务时间分布的重要分布： 泊松分布： 指数分布： 我们早已做过数学建模 设 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：船速每小时20千米/小时。 设甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20 y =5 求解 “航行问题” 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。 数学模型和数学建模 对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等） 数学模型 数学建模 统计分析显身手，自杀飞机终称臣 冲绳之战期间 自杀飞机的攻击 365例攻击报告 概率与统计分析 一个随机事件 大船采取急剧的转向动作；小船缓慢的转向 自杀飞机的命中率从47％降到29％ 日本的I-13“樱花”自杀飞机。 1.2 数学建模与战争的奥妙 数学模型—打造信息化战争的魂：C4ISR系统 C4ISR远景图 C4ISR 指挥 控制 通信 计算机 情报 监视 侦察 —“神经中枢” —“手脚” —“神经脉络” —“大脑” —“耳目” 核心技术—信息融合—数学模型是魂 1. 商人们怎样安全过河 ? ? ? 3名商人 ? ? ? 3名随从 问题：三名商人各带一名随从乘船过河，小船只能容纳二人，随从密约，在任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。乘船方案由商人们决定。商人们如何安全过河？ 河 小船(至多2人) 1.3 数学建模诀窍-亲自动手 数学建模示例 问题分析 这是个多步决策过程 决策: 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员。 要求:在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。 模型建立 xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,? ? sk=(xk , yk)~过程的状态 S={(x , y)? x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3;x=y=1,2} uk~第k次渡船上的商人数 vk~第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk)~决策 D={(u , v)? u+v=1, 2} ~允许决策集合 uk, vk=0,1,2; k=1,2,? ? sk+1=sk dk +(-1)k ~状态转移律 求dk?D(k=1,2, ?n), 使sk?S, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0). 多步决策问题 S ~允许状态集合 模型求解 x y 3 3 2 2 1 1 0 图解法 状态s=(x,y) ~ 16个格点 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移. s1 sn+1 d1, ?，d11给出安全渡河方案。 d1 d11 允许状态 S={(x , y)? x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} 2.椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲